3.3 三角函数的积化和差与和差化积课堂导学三点剖析一、公式的推导及简单应用因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,(3)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(4)(1)+(2)得:sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］;(1)-(2)得:cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］;(3)+(4)得:cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α-β)］;(3)-(4)得:sinαsinβ=-［cos(α+β)-cos(α-β)］. 以上得到的四个等式我们称为积化和差公式.设 α+β=x,α-β=y,则 α=,β=,代入积化和差公式得:sinx+siny=2sin·cos,sinx-siny=2cos·sin,cosx+cosy=2cos·cos,cosx-cosy=-2sin·sin.以上四式称为和差化积公式.【例 1】 (1)把+cos20°化成积的形式.(2)把 sin84°cos132°化成和差的形式.思路分析:(1)可化成 cos60°,然后运用公式.(2)直接运用公式.解：(1)原式=cos60°+cos20°=2cos·cos=2cos40°·cos20°.(2)原式=［sin(84°+132°)+sin(84°-132°)］=［sin216°-sin48°］=-sin36°-sin48°.各个击破类题演练 1(1)求值:sin20°+sin40°-sin80°;(2)求值:2cos37.5°·cos22.5°.思路分析:(1) 20°+40°=60°为特殊角,∴前两个先和差化积.(2)直接运用积化和差.解:(1)原式=2sin·cos-sin80°=2sin30°·cos10°-sin80°=cos10°-sin80°=sin80°-sin80°=0.(2)原式=cos(37.5°+22.5°)+cos(37.5°-22.5°)=cos60°+cos15°=+cos(45°-30°)=+cos45°cos30°+sin45°sin30°=+×=+.变式提升 1已知 sin(θ+)sin(θ-)=,求 tanθ 的值.思路分析:等式左边运用积化和差公式.解: sin(θ+)sin(θ-)=-(cos2θ-cos)=-cos2θ+.∴-cos2θ+=.解得 cos2θ=-.∴sin2θ=±.∴tanθ==±2.二、运用公式化简或证明三角函数式 运用公式进行三角变换是高考的基本要求,变换中要反复体会其中的内涵,灵活运用数学思想方法,从而加深对变换的理解.【例 2】 求值:.思路分析:本题通过对公式的灵活运用使问题得到解决.运用的方法和公式分别为“切化弦”,两角和与差的正余弦,二倍角的升幂公式,注意寻求合理简捷的运算途径.解：原式==2.温馨提示 对于三角函数的和差化积,有时因为使用公式不同,或者选择解题的思路不同,化积结果可能不一致.类题演练 2把 cosx+cos2x+cos3x+cos4x 化成积的形式.思路分析：把 cosx 与 cos4x 看作一组，cos2x 与 cos3x 看作一组进行和差化积.解：原式=（cosx+cos4x）+(cos2x+cos...
