3.3 三角函数的积化和差与和差化积课堂探究探究一 求值问题1．只有同名三角函数和(或差)才能化为积的形式．2．通常情况下遇积化和差，遇和差化积．【例 1】 求下列各式的值：(1)；(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°．分析：两题符合公式的形式，直接运用公式即可．解：(1) ＝＝tan 15°＝＝2－．(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝．探究二 化简问题【例 2】 化简下列各式：(1) ；(2) ．解：(1)原式＝＝＝＝tan．(2)原式＝＝＝＝．评注 问题(1)是对复杂的含不同角、不同函数的分式进行化简，它的化简过程是第一次化积出现特殊角，从而分子、分母都各为两项，再进行第二次化积，然后约分，达到化简目的．问题(2)的分子和分母均为三项，认真观察其角度特点，做好“配对”，然后化积，再与第三项“配对”有因子提出，再分子、分母约分，最后达到化简的目的．探究三 证明恒等式【例 3】 求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝sin 3α．分析：根据积化和差公式将左边变形整理，进行角的统一．证明：左边＝sin α· (cos 120°－cos 2α)＝sin α＋sin αcos 2α＝sin α＋ [sin 3α＋sin(－α)]＝sin α＋sin 3α－sin α＝sin 3α．评注 本题考查积化和差公式的应用，本题证明的关键是向右边目标角的转化与统一．探究四 与三角函数有关的综合问题【例 4】 求函数 y＝sin x的最值．解：y＝sin x＝sin x·2cossin＝－sin xcos＝－＝－sin＋，因为 sin∈[－1,1]，所以当 sin＝－1，即 x＝kπ－，k∈Z 时，ymax＝；当 sin＝1，即 x＝kπ＋，k∈Z 时，ymin＝－．探究五 三角形中的应用【例 5】 在△ABC 中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC 是直角三角形．分析：看到和，想到和差化积，可以得到 cos与 cos的关系，再利用半角公式可以得出关于 cos A 和 cos B 的因式．证明：因为在△ABC 中，A＋B＋C＝π，所以 sin C＝sin(A＋B)＝cos A＋cos B．因为 cos A＋cos B＝2coscos，所以 2sincos＝2coscos．因为 cos＝cos＝sin≠0，所以 sin＝cos．两边平方，得 sin2＝cos2，所以＝．所以 cos(A＋B)＋cos(A－B)＝0．所以 2cos Acos B＝0，所以 cos A＝0 或 cos B＝0．因为 A，B 为△ABC 的内角，所以 A，B 中必有一个是直角．所以△ABC 为直角三角形．反思 本题证明三角形为直角三角形，既然没有边的相对位置关系，就从角入手，可以证明有一个角为直角，或者有两角互余，除了直接求度数，还可以从正弦值为 1 或余弦值为 0 得出直角的结论．
