3.3 三角函数的积化和差与和差化积 [学习目标] 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用．[知识链接] 两角和与差的正弦、余弦公式是推导积化和差与和差化积公式的基础：sin(α＋β)＝sin_α cos _β ＋ cos _α sin _β；sin(α－β)＝sin_α cos _β － cos _α sin _β；cos(α＋β)＝cos_α cos _β － sin _α sin _β；cos(α－β)＝cos_α cos _β ＋ sin _α sin _β.[预习导引] 积化和差公式与和差化积公式(不要求记忆)积化和差公式sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]和差化积公式sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 要点一 利用积化和差与和差化积公式化简求值例 1 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.规律方法 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．跟踪演练 1 求值：cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°.解 原式＝·(cos 60°＋cos 40°)cos 70°＝cos 70°＋cos 40°cos 70°＝cos 70°＋·(cos 110°＋cos 30°)＝cos 70°＋cos 110°＋·cos 30°＝·＝.要点二 积化和差与和差化积公式的应用例 2 已知 A＋B＋C＝π，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos.证明 左边＝sin(B＋C)＋2sincos＝2sincos＋2sincos＝2cos＝2cos ·2sincos＝4sinsincos＝右边．∴原式成立．规律方法 在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．跟踪演练 2 求证：tan －tan ＝.证明 方法一 tan －tan ＝－＝＝＝＝＝.∴原式成立．方法二 ＝＝＝－＝tan －tan .∴原式成立．要点三 三角恒等变换的实际应用例 3 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，...
