第二课时 二项式系数的性质二项式系数的性质n 依次取 1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：观察此表，思考下列问题．问题 1：同一行中，系数有什么规律？提示：两端都是 1，与两端 1 等距离的项的系数相等，即 C＝C.问题 2：相邻两行，系数有什么规律？提示：在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 C＝C＋C.“杨辉三角”及其规律(1)杨辉三角(2)“杨辉三角”蕴含的规律① 在同一行中，每行两端都是 1.② 在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数满足组合数的性质 C＝C＋C.③ 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性．C＝C.1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质：(1)C＝C；(2)C＝C＋C.2．从表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数和等于 2n，而 C＋C＋C＋…＋C＝2n.与“杨辉三角”有关的问题[例 1] 如图所示，在“杨辉三角”中，斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前 n 项和为Sn，求 S19的值．[思路点拨] 观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．[精解详析] 由图知，数列中的首项是 C，第 2 项是 C，第 3 项是 C，第 4 项是 C，…，第 17 项是 C，第 18 项是 C，第 19 项是 C.∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝＋C＝54＋220＝274.[一点通] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第 n 行的首尾两个数均为________．解析：观察规律可知：第 n 行的首尾两个数均为 2n－1.答案：2n－12．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.解析：由杨辉三角知，第 1 行中的数是 C，C；第 2 行中的数是 C，C，C；第 3 行中的数是 C，C，C，C；…；第 n 行中的数是 C，C，C，…，C.设第 n 行中从左到右第 14 与第 15个数的比为 2∶3，则 C∶C＝2∶3，解之得 n＝34.答案：34二项展开式中系数的和[例 2] (10 分)设(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x...
