3.3 三角函数的积化和差与和差化积预习导航课程目标学习脉络1．理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程．2．能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．1．积化和差公式cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．名师点拨(1)积化和差公式的用处是将两角 α，β 正弦、余弦的积都化成±[f(α＋β)±f(α－β)](*)的形式．(2)公式记忆方法：①如果两三角函数同为正弦或余弦，那么(*)式中“f”表示余弦；②如果两三角函数一个为正弦一个为余弦 ，那么(*)式中“f”表示正弦；③只有第二个式子中右端取“－”号，其余均是“＋”号．(3)积化和差公式中：同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半，等式左边为单角 α，β，等式右边为它们的和差角．2．和差化积公式设 α＋β＝x，α－β＝y，则 α＝，β＝，这样，上面的四个式子可以写成sin x＋sin y＝2sincos；sin x－sin y＝2cossin；cos x＋cos y＝2coscos；cos x－cos y＝－2sinsin．名师点拨 1)记忆方法：公式左边全是同名函数的和或差，四个公式中前两个是正弦的和或差，后两个是余弦的和或差；右边积的系数前三个是“2”，第四个是“－2”；公式左边两角一个是 x，另一个是 y，右边积中两角前一个是两角和的一半，后一个是两角差的一半；正弦和的积式为正弦乘余弦，正弦差的积式为余弦乘正弦，余弦和的积式全为余弦，余弦差的积式全为正弦．(2)利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式时关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当组合．组合时遵循的原则是：①应尽量使两角的和(差)出现特殊角；②对于特殊角的三角函数应求出其值．(3)和差化积公式中：两三角函数的系数绝对值必须相同，且为同名，一次三角函数方可应用公式，若是异名需用诱导公式化为同名，若是高次，必须用降幂公式降为一次．余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角x 与 y，等式右边为与的形式．
