3.3 三角函数的积化和差与和差化积知识梳理1.积化和差公式sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］;cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］;cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α-β)］;sinαsinβ=-［cos(α+β)-cos(α-β)］. 特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角 α、β，等式右边为它们的和差角.2.和差化积公式sinx+siny=2sincos;sinx-siny=2cossin;cosx+cosy=2coscos;cosx-cosy=-2sinsin.3.常用到的三角恒等变换f(x)=asinx+bcosx=sin(x+θ)(ab≠0)，其中 tanθ=,由 a 和 b 的符号确定 θ所在的象限.知识导学 复习两角和与差的正弦、余弦公式.本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用.和差化积公式和积化和差公式不要求记忆.疑难突破1.如何推导出三角函数的和差化积公式与积化和差公式？剖析:难点是面对两角和与差的正弦或余弦公式，不知道从何处入手.其突破口是：利用方程的思想推导积化和差公式，利用“换元”思想推导和差化积公式.(1)积化和差公式的推导 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，②∴①+②，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ， 即 sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］.①-② 得 sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ， 即 cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］. cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，③cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，④∴③+④ 得 cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ. 即 cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α-β)］.③-④ 得 cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ， 即 sinαsinβ=-［cos(α+β)-cos(α-β)］.(2)和差化积公式的推导 令 α+β=θ，α-β=φ，则 α=，β=， 代入 sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］, 得 sincos=［sin(+)+sin(-)］，∴sincos=(sinθ+sinφ). 整理得 sinθ+sinφ=2sincos. 同理可得 sinθ-sinφ=2cossin；cosθ+cosφ=2coscos；cosθ-cosφ=-2sinsin.2.和差化积与积化和差公式有什么作用？剖析:难点是推导出了公式，但不会应用.其突破方法是分析和理解公式的特点，还要依赖于平时经验的积累. 可从以下几方面来理解这两组公式：(1)这些公式都是指三角函数值间的关系而言，并不是指角的关系；(2)只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差，才能直接应用公式化为积的形式 .如sinα+cosβ 就不能直接化积，应...
