高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理学案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学学案VIP专享

§5 二项式定理学习目标重点难点1.能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关问题．3．会用二项式定理找等量关系.重点：二项式定理．难点：二项式定理的应用.1．二项式定理(a＋b)n＝C a n ＋ C a n － 1 b ＋…＋ C a n － r b r ＋…＋ C b n .这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式．(a＋b)n的二项展开式共有 n ＋ 1 项，其中各项的系数 C(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数，C a n － r b r 称为二项展开式的第 r＋1 项，又称为二项式通项．在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝1 ＋ C x ＋ C x 2 ＋…＋ C x r ＋…＋ x n .预习交流 1如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，Tr＋1＝Can－rbr，其中 Tr＋1为二项展开式的第 r＋1 项，a，b 的指数和为 n.2．二项式系数的性质C＝C ＋ C ；C＝C；C＋C＋…＋C＋…＋C＝2 n .预习交流 2如何证明 C－C＋C－C＋…＋(－1)n＋1C＝0.提示：令二项展开式中的 a＝1，b＝－1，即可得到要证明的结论．1．二项式定理求 4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理，注意每一项都符合二项展开式的通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：方法 1：4＝C(3)4·0＋C(3)3·1＋C(3)22＋C(3)·3＋C(3)0·4＝81x2＋108x＋54＋＋.方法 2：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.求二项式 10的展开式中的常数项．解：设第 r＋1 项为常数项，则 Tr＋1＝C·(x2)10－r·r＝C··r(r＝0,1,2，…，10)，令 20－r＝0，得 r＝8，所以第 9 项为常数项，常数项为 C×8＝. 利用二项展开式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是一类典型的问题，通常的解法就是确定通项公式中的 r 的值或取值范围．但需注意二项式系数与项的系数及项的区别与联系．2．二项式系数的性质如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么 a1＋a2＋…＋a7的值等于( )．A．－2 B．－1 C．1 D．2思路分析：比较展开式与 a1＋a2＋…＋a7的结构，会发现当 x＝1 时，含有 a1＋a2＋…＋a7，即(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.从而只要求出 a0＝1 即可．答案：A解析：令 x＝0，得(1－2×0)7＝a0，∴a0＝1.再令 x＝1，则有(1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－1－a0＝－1－1＝－2.设(1...