高中数学 第一章 计数原理 5.1 二项式定理学案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学学案VIP专享

5.1 二项式定理 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点 二项式定理思考 1 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式． 思考 2 上述两个等式的右侧有何特点？ 思考 3 能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？ 梳理 二项式定理二项式定理公式(a＋b)n＝____________________，称为二项式定理二项展开式等号右边的式子叫作(a＋b)n的二项展开式二项式系数各项的系数____________________叫作二项式系数二项式通项式中________________叫作二项展开式的第 r＋1 项，又叫作二项式通项在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn.类型一 二项式定理的正用、逆用例 1 (1)求(3＋)4的展开式． 引申探究将本例(1)改为求(2x－)5的展开式．(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 1 反思与感悟 (1)(a＋b)n的二项展开式有 n＋1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于 n.② 字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练 1 化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 类型二 二项展开式通项的应用命题角度 1 二项式系数与项的系数例 2 已知二项式(3－)10.(1)求展开式第 4 项的二项式系数；(2)求展开式第 4 项的系数；(3)求第 4 项． 反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．(2)第 r＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是 T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是 C＝35，而第四项的系数是 C23＝280.跟踪训练 2 已知 n展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.(1)求 n 的值；2(2)求展开式中含 x3的项，并指出该项的二项式系数． 命题角度 2 展开式中的特定项例 3 已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项．(1)求 n；(2)求含 x2...