高中数学 第一章 计数原理 5.2 二项式系数的性质学案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学学案VIP专享

5.2 二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用． 知识点 二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式：思考 1 同一行中，系数有什么规律？ 思考 2 相邻两行，系数有什么规律？ 梳理 “杨辉三角”蕴含的规律(1)在同一行中，每行两端都是 1.(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数满足组合数的性质 C＝C＋C.(3)与首末两端“____________”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即 C＝________.特别提醒：1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质(1)C＝C.(2)C＝C＋C.2．从二项式系数表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数的和等于 2n，即 C＋C＋C＋…＋C＝2n.类型一 与杨辉三角有关的问题例 1 如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前 n 项和为 Sn，求 S16的值．1 引申探究本例条件不变，若改为求 S21，则结果如何？反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练 1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为 2∶3.类型二 求展开式的系数和例 2 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 2 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．(2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝.跟踪训练 2 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和． 类型三 二项式系数性质的应用例 3 已知 f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系...