高中数学 第三章 三角恒等变换本章整合学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

第三章 三角恒等变换本章整合知识网络专题探究专题一 三角函数式的求值问题三角函数式求值问题通常包括三种类型：给角求值，给值求值，给值求角．(1)给角求值：一般给出的角都是非特殊角，直接求解较难，需合理地进行角的变换，应用和差角公式、倍角公式、半角公式，使其转化为特殊角的三角函数值求解．(2)给值求值：即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件．解决问题的关键是结合条件和结论中的角，合理拆、配角．(3)给值求角：本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的三角函数值．在求角之前还需结合函数的单调性及角的范围确定所选取的函数的种类．给值求角的另一个难点是缩小角的范围，使得在所确定的范围内满足条件的角只有一个．有时仅根据已知条件是不够的，还要根据三角函数值和函数单调性缩小角的范围．【例 1】 已知 α，β，γ 均为锐角，且 tan α＝，tan β＝，tan γ＝，求α＋β＋γ 的值．解：因为 tan(α＋β)＝＝＝，所以 tan(α＋β＋γ)＝tan[(α＋β)＋γ]＝＝＝1．因为 tan α<1，tan β<1，tan γ<1，所以 α，β，γ∈．所以 α＋β＋γ∈．又因为 tan(α＋β＋γ)＝1，所以 α＋β＋γ＝．专题二 三角函数式的化简主要有以下几类：(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段．【例 2】 化简下列各式：(1) ；(2) ．分析：(1)由题目可获取以下主要信息：－α 与＋α 互余；分子满足二倍角余弦公式的结构．(2)由于分子中有 α，2α，3α 三种角，故采取中间凑的思路：cos α＋cos 3α＝cos(2α－α)＋cos(2α＋α)＝2cos 2αcos α；分母可用升幂公式将 sin2化为角 α 的三角函数，即 sin2＝，分子、分母约分即可得解．解：(1) ＝＝＝＝1．(2) ＝＝＝＝＝4cos α．专题三 三角函数式的证明问题解决此类问题的原则是：观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，那就将两端都化简，即采用“两头凑”...