高中数学 第一章 计数原理整合学案 北师大版选修 2-3知识建构综合应用专题一利用两个原理解排列组合问题的常用方法 “两个原理”是两种重要的计数方法，它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据，在排列、组合应用题中，基本上全是用加法和乘法连结了排列数与组合数的计算.所以正确地使用加法和乘法原理是解决排列、组合应用题的基础.一、树形图法【例 1】将 A、B、C、D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且 A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排在第四，试写出他们四个人所有不同的排法.解：由于 A 不排在第一，所以第一只能排 B、C、D 中的一个，据此可分为三类：由此可写出所有的排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，1DABC，DCAB，DCBA.所以他们四个人共有 9 种不同的排法.二、依次排序法利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时，可以用依次排序法.依次排序法就是把数字或字母分为前后，首先排前面的数字或字母再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完，则排列结束，这种方法多用于数字问题.【例 2】用 1、2、3、4 四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些数由小到大排成一个数列{an}.(1)写出这个数列的前 11 项；（2）求这个数列共有多少项；（3）若 an=341,求 n.解：(1）用 1、2、3、4 四个数字排成三位数，前 11 项由小到大的顺序为111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.（2）这个数列的项数就是用 1、2、3、4 排成的三位数的个数，每一个位置都有 4 种排法，根据分步乘法计数原理共有4×4×4=64 项.（3）比 an=341 小的数有两类，分别是：①1××2××②31×32×33×根据两个原理得N=2×4×4+3×4=44 项，所以 n=44+1=45.三、转化法 一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题，但是在实际生活中常会遇到这样的问题：车辆牌照的号码、电话号码、电报号码等等，都是一些重复排列.事实上，解决这些问题借助于“两个原理”非常容易办到.【例 3】（1）4 个同学，分配到 3 个课外小组中去活动，共有几种分配方法？（2）4 个同学，争夺 3 项竞赛的冠军，冠军获得者共有几种可能？解：（1）因为每个同学都可以分配到任何一个小组中去，有 3 种分法，所以课外小组的分配共有 N=3×3×3×3=34=81 种方法.（2）因为每一项冠军都可被任何一个同学获得，有 4 种可能，所以冠军获得者共有的可能总数为 N=4×4×4=43=64...
