高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大(小)值与导数学案（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

3.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点一 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考 1 观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案 极大值为 f(x1)，f(x3)，极小值为 f(x2)，f(x4)．思考 2 结合图象判断，函数 y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．思考 3 函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案 不一定，也可能是区间端点的函数值．梳理 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．知识点二 求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识点三 最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数 f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如 图 是 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 函 数 图 象 ， 显 然 f(x1) ， f(x3) ， f(x5) 为 极 大 值 ，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值 y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在 x＝x3及 x＝b 处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在 x＝x4处取得．1．函数的最大值一定是函数的极大值．( × )2．开区间上的单调连续函数无最值．( √ )3．函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( × )类型一 求函数的最值例 1 求下列各函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0，2π]．考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值解 (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2f′(x)0－0＋f(x)57－由于当 x>时，f′(x)>0，所以 f(x)在上为增函数．因此，函数 f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值...