3．3.1 单调性学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间．知识点 函数的单调性与导函数正负的关系思考 1 观察下列各图，完成表格内容函数及其图象切线斜率 k 正负导数正负单调性正[1，＋∞)上单调______R 上单调________负(0，＋∞)上单调______(0，＋∞)上单调______(－∞，0)上单调______思考 2 依据上述分析，可得出什么结论？ 梳理 (1)导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0________0______角单调______<0________0______角单调______(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递________f′(x) ≥0，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零单调递________f′(x)≤0，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零常函数f′(x)＝0类型一 求函数的单调区间命题角度 1 求不含参数的函数的单调区间例 1 求 f(x)＝3x2－2ln x 的单调区间． 反思与感悟 求函数 y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数 y＝f(x)的定义域；(2)求导数 y′＝f′(x)；(3)解不等式 f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式 f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练 1 求函数 f(x)＝的单调区间． 命题角度 2 求含参数的函数的单调区间例 2 讨论函数 f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性．引申探究若将本例改为 f(x)＝ax2－ln x(a∈R)呢？ 反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定 f′(x)的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中 x∈R，t∈R.当 t≠0 时，求f(x)的单调区间． 类型二 证明函数的单调性问题例 3 证明：函数 f(x)＝在区间上单调递减． 反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则 f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则 f′(x)≥(或≤)0.跟踪训练 3 证明：函数 f(x)＝在区间(0，e)上是增函数． 类型...
