高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第二节 平行线分线段成比例定理课堂导学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

第二节 平行线分线段成比例定理课堂导学三点剖析一、平行线分线段成比例定理及推论【例 1】如图 1-2-2,已知 DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是( )图 1-2-2A. ABAD = ACAE B. CFCE = FBEA C. BCDE = BDAD D. ABEF = CBCF解析：∵DE∥BC,∴ ABAD = ACAE , BCDE = ABAD .∴选项 C 是错误的,A 是正确的.又∵EF∥AE,∴ CFCE = FBAE , ABEF = CBCF .∴选项 B、D 是正确的.答案:C二、巧妙借助辅助线――平行线解决比例问题 1?【例 2】如图 1-2-4,已知△ABC 中,D 为 AC 上一点,E 为 CB 延长线上一点,EB=AD,ED 交 AB 于 F.图 1-2-4求证:EF・BC=AC・FD.证明：过 D 作 DG∥AB 交 CE 于 G,则 FDEF = BGEB ,BGADBCAC .∵EB=AD,∴ FDEF = BCAC ,即 EF・BC=AC・FD.温馨提示 由等积式转化为比例式是一种基本方法,作平行线找中间比是本章解决问题的主要思想方法.三、探索线段的关系【例 3】如图 1-2-6,梯形 ABCD 中,点 E、F 分别在 AB、CD 上,EF∥AD, EBAE = nm .试探究EF 、AD 、BC 之间的关系,并证明.1图 1-2-6思路分析：首先从特例出发,如果 EBAE = 21 ,取 EB 中点 G,过 G 作 GH∥BC,如图 1-2-7.图 1-2-7则有 H 为 FC 的中点,EF 为梯形 AGHD 的中位线,GH 为梯形 EBCF 的中位线.∴EF= 21 (AD+GH),GH= 21 (EF+BC).消去 GH 得 3EF=BC+2AD.同理,如果 EBAE = 32 ,得 5EF=2BC+3AD.解:如果nmEBAE ,可以猜想(m+n)EF=mBC+nAD.下面给出证明:连结 BD,交 EF 于 G.∵EG∥AD,∴nmnABBEADEG.∴EG=nmnAD.又∵AD∥EF∥BC,∴nmEBAEFCDF.∵GF∥BC,∴nmmDCDFBCGF.∴GF=nmmBC.∴EF=GF+EG=nmmBC+nmnAD.∴(m+n)EF=mBC+nAD.各个击破类题演练 1如图 1-2-3,已知 l1∥l2∥l3,AM=3,BM=5,CM=4.5,EF=16.图 1-2-3求 DM、EK、FK 的长.解析：∵l1∥l2∥l3,2∴DMCMBMAM .∴DM=355.4AMBMCM=7.5.又EFEKCDCM ,∴EK=5.75.4165.4CDEFCM=6.∴FK=16-6=10.类题演练 2如图 1-2-5,在△ABC 中,AB＞AC,D 在 AB 上,E 在 AC 上且 AD=AE,直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P.求证:BP∶CP=BD∶CE.图 1-2-5证明:过 C 作 CF∥AB,交 DP 于 F,则 BP∶CP=BD∶CF,∠EFC=∠ADE.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠AED=∠CFE.∵∠AED=∠CEF,∴∠CEF=∠CFE.∴CE=CF.∴BP∶CP=BD∶CE.类题演练 3如图 1-2-8,在△ABC 中,DE∥BC,BE、CD 交于 O.AO 交 DE 于 F,AO 的延长线交 BC 于 G.求证:(1)FEDFGCBG ;(2)DF=FE.图 1-2-8证明:(1)∵DE∥BC,∴GCFEAGAFBGDF.∴FEDFGCBG .(2)∵DE∥BC,∴ BGDF = ABAD ,3ABAD = BCDE , BCDE = BOEO , BOEO = BGFE .∴ BGDF = BGFE .∴DF=FE.变式提升 3如图 1-2-9,已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,AE∥BC,ED 交 AB 于 P,交 AC 延长线于 Q.求证:PD・EQ=PE・DQ.图 1-2-9证明:∵AE∥BC,∴AECDEQDQAEDBPEPD,.∵CD=DB,∴EQDQPEPD .∴PD・EQ=PE・DQ.温馨提示① 要重视比例式等线段的等量代换.② 要注意比例式的性质的应用.4