高中数学 第三章 不等式本章知识体系学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案

第三章 不等式本章知识体系专题一 不等式解法及应用 1．不等式的性质及应用【例 1】 已知三个不等式：① ab>0；②>；③ bc>ad.以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，写出所有能成立的不等式命题，并证明．【思路探究】 先写出所有可能的命题，然后再证明每个命题是否正确．【解答】 以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，共有三个命题，依次是 ①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②.(1)－＝， ab>0，>，∴bc－ad>0，即 bc>ad.故命题①②⇒③是正确的．(2) －＝>0，且 bc>ad，∴ab>0.故命题②③⇒①是正确的．(3) －＝，且 ab>0，bc>ad，∴>0，即－>0，故命题①③⇒②是正确的．综上所述，命题①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②都是正确的．规律方法 本题是一道开放性问题，需要将所有可能的命题都写出，然后探求每个命题是否为真，其中关键是将与作差，其分子、分母分别为 bc－ad 和 ab.【例 2】 已知 a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2，试比较 a，b，c 的大小．【思路探究】 条件中含有等式与不等式两种结构，可考虑从等式出发，求得某些量，代入不等式运算．【解答】 由 a2－2ab＋c2＝0，得 b＝，a2＋c2＝2ab. a>0，∴b>0.又 bc>a2>0，∴c>0. (a－c)2≥0，即 a2＋c2－2ac≥0，∴2ab－2ac≥0，即 2a(b－c)≥0，∴b－c≥0.若 b－c＝0，即 b＝c，则由 a2－2ab＋c2＝0，得 a＝b＝c，∴bc＝a2，这与 bc>a2矛盾，∴b－c>0，即 b>c.由 b＝及 bc>a2，得·c>a2，∴(a－c)(2a2＋ac＋c2)<0. a>0，b>0，c>0，∴a－c<0，即 a0 恒成立，所以可把原不等式化为一元二次不等式来解，进而转化为解集为 R 的情形．令 y1＝12x2＋(p－9)x＋15>0，y2＝3x2－(6＋p)x≥0，y1，y2 对x∈R 恒成立，只需 y1的最小值大于 0，y2的最小值大于或等于 0，由此求出 p 的值．【解答】 解法一： x2－x＋1>0 恒成立，∴原不等式等价于，即. ①② ①，②对 x∈R 恒成立，∴，由④得 p＝－6，代入③也成立，∴p＝－6.解法二：由解法一，知令 y1＝12x2＋(p－9)x＋15，即 y1＝122－＋15.y2＝3x2－(6＋p)x＝32－，即有， ①②由②得 p＝－6，代入①也成立，∴p＝－6.【例 4】 若不等式组的整...