高中数学 第三章 导数应用 3.1 函数的单调性与极值 导数与函数的单调性学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案VIP专享

第一节 函数的单调性与极值★ 学习目标1．掌握函数的导数与单调性的关系；2．会用导数研究函数的单调性，能根据导数值的变化规律说出函数值变化快慢的规律；★ 学法指导应用导数研究函数的单调性是导数应用的重点，也是高考的重点。学习中要注意及时总结并掌握解题方法和步骤。★ 知识归纳1． 函数( )yf x在其定义域中的某个区间),(ba内，如果'( )fx >0,那么函数( )f x 在这个区间内 ；如果'( )fx <0,那么函数( )f x 在这个区间内 。2． 若函数在其定义域内可导，则使'( )fx =0 的点称为函数( )f x 的 。3． 如果一个函数在某一范围内的 ，说明函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象比较“陡峭”；反之，函数的图象就较“平缓”。4． 函数( )f x 的单调递增区间，可通过解不等式 ，函数( )f x 的单调递减区间，可通过解不等式 。★ 重难点剖析重点：掌握导函数的正负与函数的增减性的关系，会用这种关系研究函数的单调性；难点：理解导函数等于零对函数单调性的影响；剖析： 1．'( )fx 的值与( )yf x的单调性的关系：利用导数的符号判断函数的单调性，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要的应用；函数( )yf x在其定义域中的某个区间),(ba内恒有'( )fx >0（'( )fx <0），则函数( )yf x在区间),(ba内单调增（减），反之不成立；函数( )yf x在其定义域中的某个区间),(ba内单调增（减），则有'( )0fx  （'( )0fx  ），反之也不成立（请同学们举例说明）。2．用导数研究函数单调性的一般步骤：①求导函数'( )fx ，并令其等于零求根；②上述根将函数)(xf的定义域分成若干区间，确定在各区间内'( )fx 的值的正负；③根据②的结果下结论。★ 典例分析例 1 设)(xf=522123xxx（1）求函数( )f x 的单调区间；（2）当]21,[mmx时，)(xf单调减，求实数m 的取值范围。分析：（1）求出导数'( )fx ，分别令'( )fx >0 或'( )fx <0，解出 x 的取值范围，便可求出单调区间；（2）函数在某个区间上递增或递减，求参数的范围，实际上相当与求函数的单调区间，而题中告诉的单调区间一定是所求出的单调区间的一个子集，从而利用集合的有关知识解决，或转化为恒成立问题。变式练习 11若函数1)1(2131)(23xaaxxxf在区间（1，4）内为减函数，在区间（),6  上为增函数，试求实数a 的范围。例 2 已知 xR，求证：e1xx 。分析...