第 3 课时 零点的存在性及其近似值的求法[课程目标] 1.掌握二分法求函数零点的步骤及原理；2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．知识点一 函数零点存在定理 [填一填]如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且 f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数 y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.知识点二 二分法 [填一填]1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且 f ( a ) f ( b )<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．2．用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)的零点 x0的近似值 x1，使得|x1－x0|<ε 的一般步骤如下：第一步：检查|b－a|≤2 ε 是否成立，如果成立，取 x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若 f()＝0，取 x1＝，计算结束；若f()≠0，转到第三步．第三步：若 f(a)f()<0，将的值赋给 b，回到第一步；否则必有 f()f(b)<0，将的值赋给 a，回到第一步．[答一答]1．什么样的零点可用二分法求？提示：二分法只适合求变号零点，不适合求不变号零点．2．下列图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是哪个？为什么？提示：因为①的零点为不变号零点，所以不适合用二分法． 类型一 零点类型的判断 [例 1] 分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点．(1)f(x)＝3x－6；(2)f(x)＝x2－x－12；(3)f(x)＝x2－2x＋1；(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.[解] (1)零点是 2，是变号零点．(2)零点是－3 和 4，都是变号零点．(3)零点是 1，是不变号零点．(4)零点是－1,0 和 2，其中变号零点是 0 和－1，不变号零点是 2.函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图像来看，若图像穿过 x 轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.[变式训练 1] 已知函数 y＝f(x)的图像如图所示．下列结论正确的序号是( D )① 该函数有三个变号零点；② 所有零点之和为 0；③ 当 x<－时，恰有一个零点；④ 当 0
