高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式复习课学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案VIP专享

复习课(二) 一元二次函数、方程和不等式考点一 基本不等式利用基本不等式 a＋b≥2(a>0，b>0)求最值，要抓住“一正，二定，三相等”的条件，三者缺一不可，和为定值积有最大值，积为定值和有最小值．【典例 1】 (1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( )A. B. C．5 D．6(2)若正数 x，y 满足 4x2＋9y2＋3xy＝30，则 xy 的最大值是( )A. B. C．2 D.[解析] (1)因为 x＋3y＝5xy，＋＝5，所以 3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋≥×2×＋＝5.当且仅当＝，即 x＝1，y＝时等号成立，所以 3x＋4y 的最小值是 5.(2)由 4x2＋9y2＋3xy＝30，得2·2x·3y＋3xy≤4x2＋9y2＋3xy＝30，即 15xy≤30，xy≤2，此时当且仅当即 x＝，y＝时取得最大值．故答案选 C.[答案] (1)C (2)C条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．[针对训练]1．若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 2x＋y 的最小值是________．[解析] 解法一： x>0，y>0，∴xy＝·(2x)·y≤·2，∴2x＋y＋6＝(2x＋y)＋6≤(2x＋y)2，∴(2x＋y)2－8(2x＋y)－48≥0，令 2x＋y＝t，t>0，则 t2－8t－48≥0，∴(t－12)(t＋4)≥0，∴t≥12，即 2x＋y≥12.解法二：由 x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得xy≥2＋6(当且仅当 2x＝y 时，取“＝”)，即()2－2－6≥0，∴(－3)·(＋)≥0，又 >0，∴≥3，即 xy≥18，∴xy 的最小值为 18， 2x＋y＝xy－6，∴2x＋y 的最小值为 12.[答案] 122．已知 x>1，求函数 y＝的最小值．[解] x>1，∴y＝＝＝≥×2 ＝1，当且仅当 x－1＝，即 x＝2 时，取“＝”，∴当 x＝2 时，函数 y＝有最小值为 1.考点二 一元二次不等式的解法与三个“二次”之间的关系一元二次方程的根就是二次函数的零点，求二次不等式的解一般结合二次函数的图象写出不等式的解．【典例 2】 (1)已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－11}(2)若 a 为实数，解关于 x 的不等式 ax2＋(a－2)x－2<0.[解析] (1)根据题意 x＝－1 和 x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根，于是，解得，则 2x2＋x－1<0 的解集为.(2)当 a＝0 时，不等式化为－2x－2<0，解得{x|x>－1}；当...