3.2 一般形式的柯西不等式课堂探究1．一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题．2．正确利用“1”剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契．教材例 1 中数字“1”的利用说明了处理问题与变形的灵活性． 题型一 三维形式的柯西不等式【例 1】已知 a，b，c＞0，求证：≥9.分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．证明：由柯西不等式，知(＋＋)(＋＋)＝×≥2＝(1＋1＋1)2＝9，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．故原不等式成立．反思 由 a，b，c 构成新的数字，形成三维形式的柯西不等式．这从所给的数学式的结构中看出，需要有较高的观察能力.题型二 多维形式的柯西不等式【例 2】已知 a1，a2，…，an都是正实数，且 a1＋a2＋…＋an＝1.求证：＋＋…＋＋≥.分析：已知条件中 a1＋a2＋…＋an＝1，可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左边为，，…等数的平方和，所以 a1＋a2＋…＋an＝1，应扩大 2 倍后再利用．本题还可以利用其他的方法证明．证法一：根据柯西不等式，得不等式左边＝＋＋…＋＋＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＋(an＋a1)]××＝××≥2×＝(a1＋a2＋…＋an)2×＝＝不等式右边．1当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．∴原不等式成立．证法二：因为 a＞0，则 a＋≥2，即 a≥2－，当且仅当 a＝1 时等号成立．利用上面的结论，知＝×≥＝a1－.同理，有≥a2－，…≥an－1－，≥an－.以上式子相加整理，得＋＋…＋＋≥(a1＋a2＋…＋an)＝，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时等号成立．反思 通过本题不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.题型三 柯西不等...
