高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点学案（含解析）新人教A版必修1-新人教A版高中必修1数学学案

§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点).知识点 1 函数的零点(1)概念：函数 f(x)的零点是使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x.(2)函数的零点与函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的根的关系：【预习评价】(1)函数 f(x)＝x2－4x 的零点是________.(2)若 2 是函数 f(x)＝a·2x－log2x 的零点，则 a＝________.解析 (1)令 f(x)＝0，即 x2－4x＝0，解得 x＝0 或 x＝4，所以 f(x)的零点是 0，4.(2)由 f(2)＝4a－1＝0 得 a＝.答案 (1)0，4 (2)知识点 2 函数零点的判断(1)条件：①函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；② f ( a )· f ( b ) <0.(2)结论：函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c也就是方程 f(x)＝0 的根.【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设 f(x)＝，由于 f(－1)f(1)<0，所以 f(x)＝在(－1，1)内有零点( )(2)若函数 f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)f(b)<0.( )(3)若函数 f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点.( )提示 (1)× 由于 f(x)＝的图象在[－1，1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论.(2)× 反例：f(x)＝x2－2x 在区间(－1，3)内有零点，但 f(－1)·f(3)>0.(3)× 反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但 f(x)在(－1，3)内有 0，1，2 三个零点.题型一 函数零点的概念及求法【例 1】 (1)函数 y＝1＋的零点是( )A.(－1，0) B.x＝－1 C.x＝1 D.x＝0(2)设函数 f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数 f(x)的零点与 g(x)的零点之和为________.(3)若 3 是函数 f(x)＝x2－mx 的一个零点，则 m＝________.解析 (1)令 1＋＝0，解得 x＝－1，故选 B.(2)令 f(x)＝21－x－4＝0，解得 x＝－1，即 f(x)的零点为－1.令 g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得 x＝－1，即 g(x)的零点为－1，所以函数 f(x)的零点与 g(x)的零点之和为－2.(3)由 f(3)＝32－3m＝0 解得 m＝3.答案 (1)B (2)－2 (3)3规律方法 函数零点的两种求法(1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几...