第二课时 空间向量与空间角、距离[提出问题]山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的 A 处，乙站在山坡斜面上的 B 处，A，B 两点到直线 l(水平地面与山坡的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 30 m和 40 m，CD 的长为 60 m，AB 的长为 80 m.问题 1：如何用向量方法求异面直线 AC 和 BD 所成的角？提示：设异面直线 AC 与 BD 所成角为 θ，则 cos θ＝|cos〈AC，BD〉|.问题 2：如何求斜线 BD 与地面所成角 α？提示：设地面的法向量为 n，则 sin α＝|cos〈BD，n〉|.问题 3：如何求水平地面与斜坡面所成二面角 β？提示：cos β＝cos〈CA，DB〉．[导入新知]1．空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 θ，它们的方向向量为 a，b，则 cos θ＝|cos〈a，b〉|＝π0 2，直线与平面所成的角设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|＝π0 2，二面角设二面角 αlβ 的平面角为 θ，平面 α，β的 法 向 量 为 n1 ， n2 ， 则 |cos θ| ＝ |cos〈n1，n2 〉|＝[0 ， π] 2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设 A，B 为空间中任意两点，则 d＝| AB | 点面距设平面 α 的法向量为 n，B∉α，A∈α，则 B 点到平面 α 的距离 d＝[化解疑难]1．若直线 l(方向向量为 a)与平面 α(法向量为 n)所成的角为 θ，则当〈a，n〉∈0，时 ，θ＝－〈a，n〉；当〈a，n〉∈，π 时，θ＝〈a，n〉－.2．将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时，应注意判断二面角是锐角还是钝角．3．点到平面的距离的实质，就是平面的单位法向量与从该点出发的平面的斜线段向量数量积的绝对值．1求两异面直线所成的角[例 1] 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AA1⊥底面 ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点 E，F 分别是棱 AB，BB1的中点，则直线 EF 和 BC1的夹角是( )A．45° B．60°C．90° D．120°[解析] 不妨设 AB＝BC＝AA1＝1，则EF＝BF－BE＝(BB1－BA)，BC1＝BC＋BB1，∴|EF|＝|BB1－BA―→|＝，|BC1|＝，EF·BC1＝(BB1－BA―→)·(BC＋BB1)＝，∴cos〈EF，BC1〉＝＝＝，∴〈EF，BC1〉＝60°.即异面直线 EF 与 BC1的夹角是 60°.[答案] B [类题通法]利用空...
