第三讲 柯西不等式与排序不等式本讲优化总结, [学生用书 P50]) 利用柯西不等式证明不等式[学生用书 P50] 柯西不等式的一般形式为 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1，2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解． 已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：＋＋＋>＋＋＋
【证明】 由柯西不等式·≥，于是＋＋＋≥＋＋＋
①等号成立⇔＝＝＝⇔＝＝＝⇔a＝b＝c＝d
又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．即＋＋＋>＋＋＋
已知 x，y，z 是正实数，求证：＋＋≥
证明：因为 x，y，z 是正实数，设 a＝，1b＝
因为|a·b|2≤|a|2·|b|2，所以(·＋·＋·)2≤(＋＋)[(y＋z)＋(z＋x)＋(x＋y)]，所以(x＋y＋z)2≤2(x＋y＋z)，所以＋＋≥
利用排序不等式证明不等式[学生用书 P50]排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排序与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷． 已知 a，b，c∈R＋，求证＋＋≥a＋b＋c
【证明】 设 a≥b≥c＞0
于是 a2≥b2≥c2，≥≥
由排序不等式得：a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，①a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·
②①＋②得 2≤a2·＋b2·＋c2·＋a2·＋b2·＋c2·，即 2(a＋b＋c)≤＋＋，所以＋＋≥a＋b＋c 成立． 在△ABC 中，求证：≤＜
证明：不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C
由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC
相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)
