第三讲 柯西不等式与排序不等式本讲优化总结, [学生用书 P50]) 利用柯西不等式证明不等式[学生用书 P50] 柯西不等式的一般形式为 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1，2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解． 已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：＋＋＋>＋＋＋.【证明】 由柯西不等式·≥，于是＋＋＋≥＋＋＋.①等号成立⇔＝＝＝⇔＝＝＝⇔a＝b＝c＝d.又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．即＋＋＋>＋＋＋. 已知 x，y，z 是正实数，求证：＋＋≥.证明：因为 x，y，z 是正实数，设 a＝，1b＝.因为|a·b|2≤|a|2·|b|2，所以(·＋·＋·)2≤(＋＋)[(y＋z)＋(z＋x)＋(x＋y)]，所以(x＋y＋z)2≤2(x＋y＋z)，所以＋＋≥. 利用排序不等式证明不等式[学生用书 P50]排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排序与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷． 已知 a，b，c∈R＋，求证＋＋≥a＋b＋c.【证明】 设 a≥b≥c＞0.于是 a2≥b2≥c2，≥≥.由排序不等式得：a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，①a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·.②①＋②得 2≤a2·＋b2·＋c2·＋a2·＋b2·＋c2·，即 2(a＋b＋c)≤＋＋，所以＋＋≥a＋b＋c 成立． 在△ABC 中，求证：≤＜.证明：不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥，①又由 0＜b＋c－a，0＜a＋b－c，0＜a＋c－b，有 0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)2＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．得＜.②由①、②得原不等式成立． 利用柯西不等式或排序不等式求最值[学生用书 P51]有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略． (1)已知实数 x，y，z 满足 x2＋2y2＋3z2＝3，求 u＝x＋2y＋3z 的最小值和最大值．(2)设 a1，a2，a3，a4，a5是互不相同的正整数，求 M＝a...
