第三节 平面与圆锥面的截线课堂导学三点剖析一、圆锥曲线的结构特点【例 1】如图 3-3-1,已知平面 π 与圆锥的轴的夹角为 β,圆锥母线与轴的夹角为 α,α=β,求证:平面 π 与圆锥的交线为抛物线
图 3-3-1证明：当 β=α 时,平面与圆锥的一部分相交,且曲线不闭合
在圆锥内嵌入一个 Dandelin 球与圆锥交线为圆 S
记圆 S 所在平面为 π′,π 与 π′的交线记为 m
球切 π 于 F1点
在截口上任取一点 P,过 P 作 PA⊥m 于 A,过 P 作 PB⊥平面 π′于 B,过 P 作圆锥的母线交平面 π′于 C,连结 AB、PF1、BC
由切线长定理,PF1=PC
PB 平行圆锥的轴,∴∠APB=β,∠BPC=α
在 Rt△ABP 中,PA=cosPB,在 Rt△BCP 中,PC=cosPB
α=β,∴PC=PA
∴PF1=PA,即截口上任一点到定点 F 和到定直线 m 的距离相等
∴截口曲线为抛物线
二、探讨圆锥曲线的几何性质【例 2】探索图 3-3-2 中双曲线的准线和离心率
其中 π′是 Dandelin 球与圆锥交线 S2所在平面,与 π 的交线为 m
图 3-3-2解析：P 是双曲线上任意一点,连结 PF2,过 P 作 PA⊥m 于 A,连结 AF2,过 P 作 PB⊥平面 π′于B,连结 AB,过 P 作母线交 S2于 Q2
1 PB 平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α
在 Rt△BPA 中,PA=cosPB,PQ2=cosPB
由切线长定理得 PF2=PQ2,∴PF2=cosPB
∴e=PAPF2 =coscos
0＜β＜α＜ 2 ,∴cosβ＞cosα
同理,另一分支上的点也具有同样的性质
综上所述,双曲线的准线为 m,离心率 e=coscos
三、圆锥曲线几何性质应用【例 3】已知
