高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第三节 平面与圆锥面的截线课堂导学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

第三节 平面与圆锥面的截线课堂导学三点剖析一、圆锥曲线的结构特点【例 1】如图 3-3-1,已知平面 π 与圆锥的轴的夹角为 β,圆锥母线与轴的夹角为 α,α=β,求证:平面 π 与圆锥的交线为抛物线.图 3-3-1证明：当 β=α 时,平面与圆锥的一部分相交,且曲线不闭合.在圆锥内嵌入一个 Dandelin 球与圆锥交线为圆 S.记圆 S 所在平面为 π′,π 与 π′的交线记为 m.球切 π 于 F1点.在截口上任取一点 P,过 P 作 PA⊥m 于 A,过 P 作 PB⊥平面 π′于 B,过 P 作圆锥的母线交平面 π′于 C,连结 AB、PF1、BC.由切线长定理,PF1=PC. PB 平行圆锥的轴,∴∠APB=β,∠BPC=α.在 Rt△ABP 中,PA=cosPB,在 Rt△BCP 中,PC=cosPB . α=β,∴PC=PA.∴PF1=PA,即截口上任一点到定点 F 和到定直线 m 的距离相等.∴截口曲线为抛物线.二、探讨圆锥曲线的几何性质【例 2】探索图 3-3-2 中双曲线的准线和离心率.其中 π′是 Dandelin 球与圆锥交线 S2所在平面,与 π 的交线为 m.图 3-3-2解析：P 是双曲线上任意一点,连结 PF2,过 P 作 PA⊥m 于 A,连结 AF2,过 P 作 PB⊥平面 π′于B,连结 AB,过 P 作母线交 S2于 Q2.1 PB 平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α.在 Rt△BPA 中,PA=cosPB,PQ2=cosPB .由切线长定理得 PF2=PQ2,∴PF2=cosPB .∴e=PAPF2 =coscos. 0＜β＜α＜ 2 ,∴cosβ＞cosα.∴e＞1.同理,另一分支上的点也具有同样的性质.综上所述,双曲线的准线为 m,离心率 e=coscos.三、圆锥曲线几何性质应用【例 3】已知双曲线两顶点间距离为 2a,焦距为 2c,则两准线间的距离是______________.解析：如图 3-3-4,l1、l2是双曲线的准线,F1、F2是焦点,A1、A2是顶点,O 为中心.图 3-3-4由离心率定义acHAFA1111,∴A1H1= ca A1F1.又 A1F1=OF1-OA1=c-a,∴A1H1=caca)( .∴OH1=OA1-A1H1=a-caca)( =ca 2 .由对称性,得 OH2=ca 2 .2∴H1H2=ca 22.答案: ca 22各个击破类题演练 1探究:图 3-3-1 中抛物线的准线与离心率.解析:由抛物线结构特点知,抛物线上的任意一点 P 到焦点距离 PF1与到平面 π 与 π′的交线 m 的距离 PA 相等,∴e=PAPF1 =1.∴抛物线的准线是 m,离心率 e=1.温馨提示 要紧紧围绕离心率的定义和圆锥曲线的结构特点. 探讨圆锥曲线的结构特点,关键是借助 Dandelin 球与切线长定理,化归为线段长的关系.类题演练 2...