§3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点).知识点 三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图 象 的 变 化 趋势随 x 增大逐渐近似与 y 轴 平行随 x 增大逐渐近似与 x 轴 平行随 n 值而不同增长速度①y＝ax(a>1)：随着 x 的增大，y 增长速度越来越快，会远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢② 存在一个 x0，当 x>x0时，有 a x > x n >log ax【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当 x 每增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值，则 y 是 x 的一次函数.( )(2)函数 y＝log2x 增长的速度越来越慢.( )(3)不存在一个实数 m，使得当 x>m 时，1.1x>x100.( )提示 (1)√ 因为一次函数的图象是直线，所以当 x 增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值.(2)√ 由函数 y＝log2x 的图象可知其增长的速度越来越慢.(3)× 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数 m，使得当 x>m 时，1.1x>x100.题型一 几类函数模型的增长差异【例 1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )A.y＝2 017x B.y＝x2 017C.y＝log2 017x D.y＝2 017x(2)四个自变量 y1，y2，y3，y4随变量 x 变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于 x 呈指数型函数变化的变量是________.解析 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选 A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2关于 x 呈指数型函数变化.答案 (1)A (2)y2规律方法 常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型 y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型：能用指数型函数 f(x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量 x 的增大，函数值增长的速度越来越快...
