盘点空间向量 一、空间向量的概念及其运算 1．空间向量的相关概念 （1）空间向量：在空间内，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．空间向量的表示：用有向线段来表示空间向量． （2）相等向量（或同一向量）：凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或相等向量． （3）共线向量（或平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量（或平行向量），如果向量 a 与 b 平行，记作 a∥b． （4）共面向量：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 说明：共线向量（或平行向量）是指向量的基线互相平行或重合，并且方向可能同向，也可能反向． 2．空间向量的加法、减法和数乘运算 （1）空间向量的加法、减法和数乘运算 对于空间的任意两个非零向量 a，b 都可以通过平移，转化为平面向量，因此可将平面向量的线性运算法则，推广到空间来定义空间向量的加法、减法和数乘的运算，空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则，在空间向量的求和中要特别注意“封口向量”即表示相加向量的有向线段依次首尾相接，则构成从首到尾的向量的和． （2）空间向量的加法和数乘运算满足的运算律 ①加法交换律 abba ； ②加法结合律()() abcabc ； ③分配律 ()()Rabab． 几个结论：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．二、空间向量相关定理1．共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b（0a），b 与 a 共线的充要条件是存在实数 ，使ba ． 说明：（1）在此定理中必须要有0a这个条件，因为 0 与任意一个非零向量共线． （2）在ba 中，对于确定的 和 a， 表示空间与 a 平行（或共线）且长度为 a 的所有向量． （3）利用共线向量定理可以证明两条直线平行或三点共线问题． （4）对于空间任意两个向量 a，b（0a），共线向量定理可分解为以下两个命题： ①∥ab存在唯一的实数 x 使xab ； ②存在唯一的实数 x 使x∥abab ． 两个命题中①是共线向量的性质定理，②是空间向量共线的判定定理，如要用此结论判定 a，b 的基线平行，还需证明 a（或 b）上有一点不在 b（或 a）上． 2．共面向量定理 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在有序实...
