3.1.1 实数指数幂及其运算预习导航课程目标学习脉络1．理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关计算．2．通过具体实例了解实数指数幂的意义．3．通过本节的学习，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程.1．概念整数指数n 次方根分数指数a n ＝规定：a0＝1( a ≠0) a－n＝(a≠0，n∈N＋)如果存在实数 x，使得 xn＝a ( a ∈ R ， n >1 ， n ∈ N ＋)，则x 叫做 a 的 n 次方根．求 a 的 n 次方根 ，叫做把 a 开 n次方，称作开方运算＝(a>0)＝＝ (a>0，n，m∈N＋，且为既约分数)a－＝ (a>0，n，m∈N＋，且为既约分数)一般地，当 a>0，α 为任意实数值时，实数指数幂 aα均有意义．思考 1 根式与分数指数幂互化的条件是什么？提示：(1)引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即＝，这时被开方数 a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然是当 m＝1 时的特例．(2)分数指数幂的意义来源于根式，而要使对任意的 n∈N＋，且 n>1 都有意义，必须限定 a>0，否则，当 a＝0 时，若 m＝0 或是分母为偶数的负分数，没有意义；当a<0 时，若 m 为奇数，n 为偶数，没有意义．2．根式的性质(1) ＝a(n>1，且 n∈N＋)；(2) ＝思考 2与有何区别？请举例说明．提示：是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂，其中实数 a 的取值由 n 的奇偶性来决定：① 当 n 为大于 1 的奇数时，a∈R.例如，＝27，＝－32，＝0；② 当 n 为大于 1 的偶数时，a≥0.例如，()4＝27，()2＝3，()6＝0；若a<0，式子无意义．例如，，均无意义．因此，只要有意义，其值恒等于 a，即＝a.是实数 an的 n 次方根，an是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶性限制，a∈R.但是的值受 n 的奇偶性限制：① 当 n 为大于 1 的奇数时，其值为 a，即＝a.例如，＝－3，＝6.1；② 当 n 为大于 1 的偶数时，其值为|a|，即＝|a|.例如，＝2，＝3，＝0.3．指数幂的运算法则正整指数幂(a≠0，m，n 为整数)有理指数幂(a>0，b>0，α，β 为有理数)(1)am·an＝a m ＋ n (2)(am)n＝a mn (3) ＝a m － n (m>n)(4)(ab)m＝a m b m (1)aαaβ＝a α ＋ β (2)(aα)β＝a α · β (3)(ab)α＝a α b α 思考 3 如何推导＝am－n(m>n，a≠0)?提示：＝am×＝am×a－n＝am－n.
