3.1.2 指数函数课堂导学三点剖析一、指数函数的定义域、值域的求法【例 1】求下列函数的定义域与值域:(1)y=2;(2)y=()-|x|;(3)y=4x+2x+1+1.解析：(1) x-4≠0,∴x≠4.∴定义域是{x∈R|x≠4}. ≠0,∴2≠1.∴函数的值域是{y|y>0 且 y≠1}.(2)定义域为 R. |x|≥0,∴y=()|x|=()|x|≥()0=1.∴y=()|x|的值域是{y|y≥1}.(3)定义域是 R. y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且 2x>0,∴y>1.∴y=4x+2x+1+1 的值域是{y|y>1}.温馨提示(1)由于指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的定义域是 R,所以函数 y=af(x)(a>0 且 a≠1)与函数 f(x)的定义域相同.(2)求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.二、比较两个数的大小问题【例 2】比较下列各题中两个值的大小.(1)()0.8与()1.8;(2)()与();(3)1.70.3与 0.93.1.思路分析：同底数的幂比较大小,要用指数函数的单调性;对于底数和指数都不同的两个幂比较大小,要找到一个中间量搭桥,判断它们的大小.解:(1)因为()0.8=()1.6,且函数 y=()x 在 R 上是减函数,所以()1.6>()1.8,即()0.8>()1.8.(2)因为()=(),且函数 y=()x在 R 上是减函数,所以()<(),即()<().(3)由指数函数的性质,得 1.70.3>1.70=1,又 0.93.1<0.90=1,所以 1.70.3>0.93.1.温馨提示 两个幂值比较大小,要灵活运用指数函数的单调性.同底数而指数不同的,直接用单调性比较大小;对于底数和指数都不同的幂值比较大小,需找准“中间量”通过它的联系,而确定这两个值的大小.这个“中间量”常选取 0、±1 等.三、复合函数的单调性【例 3】求函数 y=()的单调区间.思路分析：函数 y=()可认为由 y=()u,u=x2-6x+17“复合”而成,求单调区间要综合考虑 u=x2-6x+17 与 y=()u的性质.解:函数 u=x2-6x+17 在［3,+∞)上是增函数,即对任意的 x1、x2∈［3,+∞)且 x1
(),即 y1>y2.∴y=()在［3,+∞)上是减函数.同理,y=()在(-∞,3］上是增函数.温馨提示 当 a>1 时,函数 y=af(x)与函数 f(x)的单调性相同;当 00 且 y≠2.∴值域为{y｜y>0 且 y≠2}.变式提升 1已知指数函数 f(x)=ax在［-1,1］上的最大值与最小值之差为 1,求 a 的值.解析：当 a>1 时,f(x)max=a,f(x)min=a-1,由 a=1,知 a2-a-...
