高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算学习导航学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案

3.2.1 对数及其运算自主整理1.对数的概念(1)如果 a(a>0,且 a≠1)的 b 次幂等于 N，就是 ab=N，那么数 b 称为以 a 为底 N 的对数，记作 logaN=b，其中 a 称为对数的底，N 称为真数;(2）以 10 为底的对数称为常用对数，log10N 记作 lgN；(3）以无理数 e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，logeN 记作 lnN.2.对数的性质(1）真数 N 为正数（负数和零无对数）.(2）loga1=0.(3）logaa=1.(4）对数恒等式：a=N.(5)运算性质：如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,则①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).3.对数的换底公式一般地,我们有 logaN=(a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0),这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(1）logab·logba=1；(2）log=logab.高手笔记1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg（-2）（-3）存在，但 lg（-2），lg（-3）不存在，lg（-10）2存在，但 lg（-10）不存在等.因此不能得出 lg（-2）（-3）=lg（-2）+lg（-3），lg（-10）2=2lg（-10）.5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若 M＞0，N＞0，M=N，则logaM=logaN.名师解惑1.对数式与指数式有何关系？在对数符号 logaN 中，为什么规定 a＞0，a≠1，N＞0 呢？ 我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。——利希顿堡剖析：对数的概念是这么说的：一般地，如果 a（a＞0 且 a≠1）的 b 次幂等于 N，即ab=N，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作 logaN=b，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式 ab=N，还是对数式 logaN=b 都反映的是 a、b、N 三数之间的关系.在对数符号 logaN 中，若 a＜0，则 N 为某些值时，logaN 不存在，如 log（-2）8 不存在.若 a＝0，则 N 不为 0 时，logaN 不存在；N 为 0 时，logaN 可以为任何正数，不唯一.若 a＝1，则 N 不为 1 时，logaN 不存在；N 为 1 时，logaN 可以为任何实数，不唯一.因此规定 a＞0 且 a≠1.因为 logaN＝b ab＝N，在实数范围内，正数...