3.2.3 指数函数与对数函数的关系课堂导学三点剖析一、求函数的反函数问题【例 1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域.(1)y=(-1≤x≤0);(2)y=x2-4x+7(x≤2).解析：(1) y=,∴x2=1-y2.又-1≤x≤0,∴0≤x2≤1,0≤1-x2≤1,0≤≤1,即 0≤y≤1.∴x=(0≤y≤1).∴所求反函数是 y=-(0≤x≤1).(2) y=(x-2)2+3,x≤2,∴y≥3,x-2≤0.∴x-2=,x=+2(y≥3).∴所求反函数是 y=+2(x≥3).温馨提示(1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量 x 在定义域内有唯一解的条件.因此,在解 x 时,就要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出 y的取值范围,即反函数的定义域.(2)在交换 x、y 时,要将 y 的限制条件换成 x 的限制条件,并由此得到反函数的定义域.(3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域.二、指数函数与对数函数的图象关系【例 2】已知 a>0,且 a≠1,函数 y=ax与 y=loga(-x)的图象只能是下图中的( )思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数 a 对图象的影响.解法一:首先,曲线 y=ax 只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A、C.其次,从单调性着眼,y=ax与 y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除 D.∴应选 B.解法二:若 0
1,则曲线 y=ax上升且过点(0,1),而曲线 y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有 B 满足条件.解法三:如果注意到 y=loga(-x)的图象关于 y 轴的对称图象为 y=logax,又 y=logax 与 y=ax互为反函数(图象关于直线 y=x 对称),则可直接选定 B.答案：B温馨提示 (1)函数图象是一个重要问题,一定要掌握好所学过的各类函数的图象,才能解决各类变化了的问题. (2)y=ax与 y=logax 为互为反函数关系,其图象关于 y=x 对称.三、指数函数与对数函数性质的综合运用【例 3】设函数 f(x)是函数 g(x)=的反函数,则 f(4-x2)的单调递增区间为( )A.［0,+∞) B.(-∞,0］ C.［0,2) D.(-2,0］思路分析：f(x)=logx,f(4-x2)=log(4-x2),利用复合函数的单调性求单调区间.解：f(x)=logx,f(4-x2)=log(4-x2),它是由函数 logu 和 u=4-x2(-2
