高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案VIP专享

3.2.1 第 2 课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数[学习目标] 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.[知识链接]在指数的运算性质中：am·an＝am＋n；＝am－n；(am)n＝amn.[预习导引]1.对数的运算性质如果 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0.那么：(1)loga(M·N)＝logaM ＋ log aN.(2)loga＝logaM － log aN.(3)logaMn＝n log aM(n∈R).2.换底公式logab＝(a＞0，且 a≠1；c＞0，且 c≠1).3.自然对数以无理数 e＝2.718 28…为底的对数，叫做自然对数，logeN 通常记作 ln N .温馨提示 常用结论(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝logab；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.要点一 对数运算性质的应用例 1 计算下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解 (1)方法一 原式＝(lg 32－lg 49)－lg 2＋lg(49×5)＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.方法二 原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg＝lg(·)＝lg＝.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1 在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪演练 1 计算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；(2)解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝＝＝.要点二 换底公式的应用 例 2 已知 log189＝a,18b＝5，用 a、b 表示 log3645.解 方法一 由 18b＝5，得 log185＝b，又 log189＝a，所以log3645＝＝＝＝.方法二 设 log3645＝x，则 36x＝45，即 62x＝5×9，从而有 182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以 18 为底的对数，得 2x＝log185＋(x＋1)log189，又 18b＝5，所以 b＝log185.所以 2x＝b＋(x＋1)a，解得 x＝，即 log3645＝.规律方法 1.利用换底公式可...