第四节 无穷级数一、数项级数（一）常数项级数的概念和性质 1 ．常数项级数的概念数列 u n（ n = 1 , 2 , …）的各项依次相加的表达式称为无穷级数，第 n 项 un称为级数的一般项或通项，前 n 项之和 Sn =称为级数的部分和。若 = S 存在．则称级数收敛，并称级数的和为 S ; 若不存在，则称级数发散 。 当级数收敛时， rn =称为级数的余项，有= 0 。2 ．常数项级数的性质（ 1 ）若 = S,则= k=ks （ k 为常数)；（ 2 ）若=S，则vn =T, 则 （unvn) =vn =S T;（ 3 ）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和；（ 4 ）在级数中改变有限项，不影响其收敛性；（ 5 ）若级数收敛，则＝ 0；反之，不一定成立。3 ．典型级数（ l ）几何级数aqn-1，当q < 1 时，收敛于，当q 1 时，级数发散； （ 2 ） p-级数（p > 0 ) ，当 p > 1 时，级数收敛，当 0＜p 1 时，级数发散.（二）常数项级数的审敛法 1 ．正项级数审敛法若级数，其中 un0 （ n=1 , 2 ， … ），则称级数为正项级数。（ l ）收敛准则：正项级羚收敛的充分必要条件是其部分和有界。（ 2 ）比较审敛法：设、vn为正项级数，对某个 N > 0 ，当 n＞ N 时， 0unCvn（ C > 0 为常数）。若vn收敛，则收敛；若发散，则vn发散。比较审敛法的极限形式：若＝l（vn0 ) ，则当 0＜ l ＜十 时，和vn同时收敛或同时发散。（ 3 ）比值审敛法：设为正项级数，若 = l ，则当 l < l 时，级数收敛；当 l > 1 或 l = +时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。（ 4) 根值审敛法：设为正项级数，若= l,则当 l < l 时，级数收敛;当 l > 1 或 l = + 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。2 ．任意项级数审敛法若级数，其中 un（n = 1 , 2 ， … ）为任意实数，则称级数为任意项级数。若级数的各项正负交替出现，即可写作（-1）nun（un > 0 ）或（- l ） n+ l un（un＞ 0 ） ，则称级数为交错级数。若级数为任意项级数，而级数un收敛，则称级数绝对收敛；若收敛，而un发散，则称级数条件收敛。（ l ）莱布尼兹判别法：若交错级数（- l ） n u n（ u n＞ 0 ）满足： 1 ）u n u n+1（n＝ 1 , 2 … ） ; 2 ） u n = 0 ，则级数（- 1 ）nun收敛，且有余项rn u n+1（n＝ 1 , 2, …）（ 2 ）若任意项级数绝对收敛，则该级数收敛。（ 3 ）设为任意项级数，若 = l （或＝ l ） ，则当 l < 1 时，级数绝对收敛；当 l > 1 或 l = + 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。
