（四）向量的内积与范数 1 ．向量的内积与范数设令[x ，y]称为向量 x 与 y 的内积（数量积）。当 x 、 y 为列向量时，用矩阵记号表示，有令|| x ||称为向量 x 的范数（模、长度）。范数等于 1 的向量称单位向量。 2 ．正交向量组与正交矩阵当 [x ，y] ＝ 0 时，称向量 x 与 y 正交。一组两两正交的非零向量称为正交向量组。定理设 α1, α2， … ，αr为一个正交向量组，则 α1, α2， … ，αr线性无关。设方阵 A 满足 AAT = E （即 AT = A-1) ，则 A 称为正交矩阵。正交阵的行向量组及列向量组都是正交向量组，且每个向量都是单位向量。特征值与特征向量定义 设 A 为 n 阶方阵，假如数 λ 与非零列向量 x 使则数 λ 称为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应特征值入的特征向量。记 f （λ）= | A –λE |，这是 λ 的 n 次多项式，称为矩阵 A 的特征多项式。 f （λ）= 0 称为特征方程，特征方程的根就是 A 的特征值。 n 阶方阵 A 有 n 个特征值（实的或复的，重根按重数计算个数）。设 λ0是 A 的一个特征值，由于| A –λ0E | = 0 ，故齐次方程（ A -λ0E ) x= 0 必有非零解，这个非零解就是对应于特征值 λ0的特征向量。定理设 A 是 n 阶实对称方阵，则 A 的特征值都是实数，且有二个两两正交的特征向量。相似矩阵定义设 A 、 B 都是 n 阶方阵。假如可逆阵 P 使则称 B 是 A 的相似矩阵，也称 A 与 B 相似（或称 A 是 B 的相似矩阵，也称 B 与 A 相似。当 A 与 B 相似时， A 与 B 的秩相等，且 A 与 B 等价。相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同当 n 阶方阵 A 与对角阵 Λ 相似时，即存在可逆阵 P 使则 Λ 的主对角线上的元素恰是 A 的二个特征值，组成 P 的 n 个列向量恰是 A 的对应特征值的特征向量定理 n 阶方阵 A 能与对角阵相似的充分必要条件为 A 有 n 个线性无关的特征向量。定理假如 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值，那么 A 必定能与对角阵相似。定理 n 阶实对称阵必定能与对角阵相似。【 例 1- 8 - 18 】设 2 是方阵 A 的特征值，则 A2 - 3A + E 必有特征值( A ) 0 ( B ) 1 ( C ）- 1 ( D ）以上都不对
