高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名：徐琛豪 班级：安全工程 02 班 学号：1202550221 完成时间：2013 年 6 月 2 日 二重积分【本章学习目标】⒈ 理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估量二重积分的取值范围。⒉ 领悟将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。⒊ 掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积.1 二重积分的概念与性质1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型"－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域 D 成 n 个小区域的分法要任意，二是在每个小区域上的点的取法也要任意.有了这两个“任意”，假如所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值时总有同一个极限，才能称二元函数在区域 D 上的二重积分存在.2．明确二重积分的几何意义。(1) 若在 D 上≥0，则表示以区域 D 为底,以为曲顶的曲顶柱体的体积.特别地，当＝1 时，表示平面区域 D 的面积。(2） 若在 D 上≤0,则上述曲顶柱体在 Oxy 面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若在 D 的某些子区域上为正的,在 D 的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和（即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积）。3．二重积分的性质,即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估量一个二重积分的取值范围,在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数在闭区域 D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围.【主要概念梳理】1.二重积分的定义 设二元函数 f（x,y）在闭区域 D 上有定义且有界。分割 用任意两组曲线分割 D 成 n 个小区域同时用表示它们的面积,其中任意两小块和除边界外无公共点.既表示第 i 小块,又表示第 i 小块...
