高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案（含解析）新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案VIP专享

2．1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系[课程目标] 1.会用配方法求一元二次方程的解集；2.会用根与系数的关系求解根的问题．知识点一 一元二次方程根的解集 [填一填]关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)利用配方法，总可以写成 2＝，其中 Δ＝b2－4ac.(1)当 Δ＝b2－4ac>0 时，方程的解集为；(2)当 Δ＝b2－4ac＝0 时，方程的解集为；(3)当 Δ＝b2－4ac<0 时，方程的解集为∅.知识点二 一元二次方程根与系数的关系 [填一填]关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－，x1x2＝.[答一答]1．关于 x 的方程 x4－2x2－3＝0 一定有四个解吗？提示：不对．有两解．方程配方得(x2－1)2＝4，x2－1＝±2，x2＝3 或 x2＝－1(舍)，所以x＝±，两解．2．解关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的步骤是什么？提示：先因式分解，若能分解，则直接求解．若分解不开，则求 Δ，根据 Δ 的符号确定方程解的情况．类型一 求一元二次方程的解集 [例 1] 求下列关于 x 的一元二次方程的解集．(1)x2－6x－5＝0; (2)9x2＋6x＋1＝0；(3)－2x2＋5x－4＝0.[解] (1)x2－6x－5＝0，配方得(x－3)2＝14，解得 x－3＝±，即 x＝3±，因此方程的解集为{3＋，3－}．(2)9x2＋6x＋1＝0，配方得(3x＋1)2＝0，解得 3x＋1＝0，即 x＝－，因此方程的解集为{－}．(3)－2x2＋5x－4＝0 变形为 2x2－5x＋4＝0，Δ＝(－5)2－4×2×4＝－7<0，因此方程的解集为∅.可先配方再求解，也可直接利用求根公式求解，最后一定要写成解集的形式.[变式训练 1] 求下列关于 x 的一元二次方程的解集．(1)2x2－6x＋3＝0; (2)x2＋x＋1＝0；(3)4x2－12x＋9＝0.解：(1)Δ＝(－6)2－4×2×3＝12，由求根公式得 x＝＝，方程的解集为.(2)Δ＝12－4×1＝－3<0，方程 x2＋x＋1＝0 的解集为∅.(3)4x2－12x＋9＝0，配方得(2x－3)2＝0，解得 x＝，方程的解集为.类型二 转化为一元二次方程求解集 [例 2] 求下列关于 x 的方程的解集．(1)x－4－3＝0; (2)2x4－3x2－1＝0.[解] (1)设＝t，则 t≥0，方程变形为：t2－4t－3＝0，配方得(t－2)2＝7，解得 t＝2±， t＝2－<0 舍去，∴＝2＋，解得：x＝11＋4，故原方程解集为{11＋4}．(2)设 x2＝t，则 t≥0，方程变形为 2t2－3t－1＝0，则 Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17>0，由求根公式得 t＝＝. t>0，∴t＝，∴x2＝，∴x＝±，方程的解集为.可因式分解后再求解...