2.1 直线的参数方程教学建议1.本节的难点是理解两种形式的直线参数方程中参数的几何意义.突破方法是借助于典型例题强调其几何意义,同时在应用中加深认识.2.借助于错例分析,加深对直线参数方程标准形式的理解.3.直线参数方程的其他形式.对于同一直线的普通方程选取的参数不同,会得到不同的参数方程.例如,对于直线普通方程 y=2x+1,如果令 x=t,可得到参数方程(t 为参数);如果令 x=,可得到参数方程(t 为参数).这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义,但是在实际应用中有时能够简化某些运算.例如,动点 M 做匀速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12,点 M 从点 A(1,1)开始运动,求点 M 的轨迹的参数方程.点 M 的轨迹的参数方程可以直接写为(t 为参数).再如,如果非零向量 p=(a,b)与直线 l 平行,M0(x0,y0)是 l 上任意取定的一点,M (x,y)是 l上的动点,则直线 l 的参数方程是t∈(-∞,+∞).备选习题1.给出两条直线 l1和 l2,斜率存在且不为 0,如果满足斜率互为相反数,并且在 y 轴上的截距相等,那么直线 l1和 l2叫作“孪生直线”.现在给出四条直线的参数方程如下:l1:(t 为参数);l2:(t 为参数);l3:(t 为参数);l4:(t 为参数).其中构成“孪生直线”的是 . 解析:l1:(t 为参数),∴直线的斜率为-1,在 y 轴上的截距为-2.l2:(t 为参数),∴直线的斜率为 1,在 y 轴上的截距为 1.∴l1与 l2不是孪生直线.l3:(t 为参数),∴直线的斜率为-1,在 y 轴上的截距为 2.l4:(t 为参数),∴直线的斜率为 1,在 y 轴上的截距为 2.∴l3与 l4是孪生直线.答案:l3与 l42.已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点.求|PA|·|PB|的值为最小时的直线 l 的参数方程.解:设直线的倾斜角为 α,α∈,则它的方程为(t 为参数).由 A,B 是坐标轴上的点知 yA=0,xB=0,∴0=2+tAsin α,即|PA|=|tA|=,0=3+tBcos α,即|PB|=|tB|=-.故|PA|·|PB|==-.∵<α<π,∴当 2α=,即 α=时,|PA|·|PB|有最小值.∴所求直线的参数方程为(t 为参数).
