2.1.2 指数函数及其性质课堂导学三点剖析一、指数函数的概念图象及性质【例 1】 下列函数是指数函数吗?分别求函数的定义域、值域.(1)y=56x+1; (2)y=()3x;(3)y=; (4)y=π-x;(5)y=(2a-1)x(a>,且 a≠1); (6)y=.思路分析:一个函数是否为指数函数要根据定义进行判断,不是指数函数的函数,求其定义域、值域时,先求定义域,再按复合函数结构特征去求值域.解:(1)y=56x+1=5·(56)x不是指数函数,其定义域为 R,设 t=6x+1,则 t∈R,y=5t∈(0,+∞). (2)y=()3x=［()3］x=()x是指数函数,定义域为 R,值域为(0,+∞). (3)y=不是指数函数,要使解析式有意义,必须 x≠0,定义域为{x|x≠0}. 设 t=,则 t∈(-∞,0)∪(0,+∞),y=0.7t∈(0,1)∪(1,+∞). (4)y=π-x=()x是指数函数,其定义域为 R,值域为(0,+∞). (5)y=(2a-1)x(a>且 a≠1)是指数函数,其定义域为 R,值域为(0,+∞). (6)y=不是指数函数,要使函数有意义,必须 1-2-x≥0, 即 1-()x≥0,也就是()x≤1=()0,得 x≥0,定义域为{x|x≥0}. 令 t=1-()x, 当 x≥0 时 ,0<()x≤1,0≤1-()x<1, 因 此 t∈ ［ 0,1 ］ ,y=∈［0,1］.【例 2】 比较下列各组数的大小:(1)-;(2)π0.3,0.923.5.思路分析:利用指数函数单调性可直接比较 aα与 aβ的大小.当底数不同时,往往需要插入中间值如 1 进行大小比较.解:(1)由于 y=0.35x在(-∞,+∞)上是减函数,又->-, 因此,<. (2)由于 π>1,因此 π0.3>π0=1,0<0.92<1,则 0.923.5<0.920=1,从而有 π0.3>0.923.5.温馨提示 因为 a0=b0=1,当 aα、bβ比较大小时(a、b>0,且 a、b≠1),往往插入中间值 1,使 aα、bβ能够通过与 1 的比较进而区别大小.二、指数函数性质的应用【例 3】 根据所给条件,确定 x 的取值范围.(1)()-3x+5<2;(2)(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1(a>且 a≠1).思路分析:此类题目解决的依据是指单调性.解:(1)()-3x+5<2(2-1)-3x+5<223x-5<2. 由单调性可知 3x-5<1, 即 x<2. (2)当 0<2a-1<1, 即
(2a-1)2x-1x-5<2x-1,得 x>-4; 当 2a-1>1, 即 a>1. (2a-1)x-5>(2a-1)2x-1x-5>2x-1,得 x<-4.温馨提示 求解指数中含有未知数的不等式时，必须注意底数是大于 1 还是大于零且小于 1，然后再利用相应指数函数单调性进行解答，可归纳为：当 a＞1 时，＞f（x）＞g（x）；当 0＜a<1 时，＞f（x）＜g（x）.三、指数函数的单调性【例 4】 试判断函数 f（x）=的单调性.错解：设 x1、x2∈R，且 x1＜x2，则 f（x1）...
