高中数学 第二章 参数方程 4 平摆线和渐开线学案 北师大版选修4-4-北师大版高二选修4-4数学学案

§4 平摆线和渐开线[对应学生用书 P35]1．平摆线(1)平摆线的概念：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)．(2)摆线的参数方程：① 定点 M 在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为 r，圆在 x 轴上滚动，开始时点 M 在原点 O(如图)．设圆转动的角度为 α 时，圆和 x 轴的切点是 S，圆心是 N，M 的坐标为(x，y)，取角度 α为参数．连接 NM，NS，过 M 作 x 轴的垂线 MP，垂足为点 P，过 M 作 NS 的垂线 MQ，垂足为 Q.因为∠MNQ＝α，所以 OS＝ SM ＝rα.这就是圆周上的定点 M 在圆 N 沿直线滚动过程中满足的几何条件．② 摆线的参数方程：如图(1)，由①分析可得：x＝OP＝OS－PS＝ SM －MQ＝rα－rsin α＝r(α－sin α)，y＝PM＝SQ＝SN－QN＝ r－rcos α＝r(1－cos α)．图(1)所以摆线的参数方程是(－∞<α<＋∞)．2．渐开线(1)渐开线的相关概念：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．(2)渐开线的参数方程：① 动点(笔尖)所满足的几何条件：如图(2)，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点 M，它的初始位置记作 A，绳子离开圆盘的位置记作 B，随着绳子逐渐展开，动点 B 从点 A 出发在圆周上运动，动点 M 满足以下条件：(Ⅰ)MB 与圆相切于 B；(Ⅱ)MB 的长度与 B 在圆周上走过的弧长相等，即 MB＝ AB .1图(2) 图(3)② 渐开线的参数方程：如图(3)，以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为 r，则动点 M 的初始位置 A 的坐标为(r,0)，设动点 M 的坐标为(x，y)，φ 是以 OA 为始边、OB 为终边的正角，令 φ 为参数，此时 AB 的弧长为 rφ.作 ME⊥Ox，BC⊥Ox，垂足分别为 E，C；作 MD⊥BC，垂足为 D，则∠MBD＝∠AOB＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是：( 其中 φ 是参数 ) ．1．在摆线的参数方程中 α 的取值范围是什么？提示：α 的取值范围为(－∞，＋∞)2．在图(1)中点 O，E 间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长 2πr，拱高等于圆的直径 2r.其中 r 为滚动圆的半径．[对应学生用书 P35]求圆的平摆...