高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数 2.2.1 第2课时 对数的运算学案（含解析）新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案VIP专享

第 2 课时 对数的运算[目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．[重点] 对数的运算性质的推导与应用．[难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用.知识点一 对数的运算性质[填一填]如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0.那么：(1)loga(M·N)＝logaM ＋ log aN.(2)loga＝logaM － log aN.(3)logaMn＝n log aM(n∈R)．[答一答]1．若 M，N 同号，则式子 loga(M·N)＝logaM＋logaN 成立吗？提示：不一定，当 M>0，N>0 时成立，当 M<0，N<0 时不成立．2．你能推导 loga(MN)＝logaM＋logaN 与 loga＝logaM－logaN(M，N>0，a>0 且 a≠1)两个公式吗？提示：①设 M＝am，N＝an，则 MN＝am＋n.由对数的定义可得 logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n.这样，我们可得 loga(MN)＝logaM＋logaN.② 同样地，设 M＝am，N＝an，则＝am－n.由对数定义可得 logaM＝m，logaN＝n，loga＝m－n，即 loga＝logaM－logaN.知识点二 换底公式[填一填]换底公式常见的推论：(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝logab，特别 logab＝；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.[答一答]3．换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数．4．若 log34·log48·log8m＝log416，求 m 的值．提示： log34·log48·log8m＝log416，∴··＝log442＝2，化简得 lgm＝2lg3＝lg9，∴m＝9.类型一 对数运算性质的应用[例 1] 计算下列各式：(1)lg－lg＋lg；(2)；(3)lg25＋lg8＋lg5lg20＋(lg2)2.[分析] (1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用 lg2＋lg5＝1 化简．[解] (1)(方法 1)原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.(方法 2)原式＝lg－lg4＋lg(7)＝lg＝lg(×)＝lg＝.(2)原式＝＝＝＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：1把复杂的真数化简；2正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则，将它们化为对数的和、差、积、商，然后再化简；3逆用公式：对式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.[变式训练 1] (1)计算：log5＝；log2(32×42)＝9.(2)计算：lg8＋lg125＝3...