2.2 对数函数课堂探究探究一 对数式与指数式的互化1．logaN＝b 与 ab＝N(a>0，且 a≠1)是等价的，表示 a，b，N 三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量．2．已知底数与指数或已知指数与幂时，通常用指数式求幂或底数；若已知底数与幂求指数，需用对数式，所以指数式与对数式的互化在幂的运算中经常用到．【典型例题 1】 将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4； (2) ＝－3；(3)ln 10＝2.303； (4)43＝64；(5)3－2＝； (6)10－3＝0.001.思路分析：利用当 a＞0，且 a≠1 时，logaN＝b⇔ab＝N 进行互化．解：(1)24＝16.(2) －3＝27.(3)e2.303＝10.(4)log464＝3.(5)log3＝－2.(6)lg 0.001＝－3.探究二 利用对数式与指数式的关系求值指数式 ax＝N 与对数式 x＝logaN(a>0，且 a≠1)表示了三个量 a，x，N 之间的关系，因而已知其中两个可求第三个：已知底数与指数，用指数式求幂；已知指数与幂，用指数式求底数；已知底数与幂，利用对数式表示指数．【典型例题 2】 求下列各式中 x 的值：(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；(3)log＝x；(4)logx27＝；(5)lg 0.01＝x.思路分析：利用指数式与对数式的关系求解．解：(1)∵4x＝5·3x，∴＝5，∴x＝5，∴x＝.(2)∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.(3)∵－2＝，∴log＝－2，∴x＝－2.(4)∵logx27＝，∴＝27，∴x＝＝32＝9.(5)∵lg 0.01＝x，∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2.探究三 对数性质的应用1．对数的性质：(1)在指数式中 N>0，故零和负数没有对数．(2)设 a>0，a≠1，则有 a0＝1.∴loga1＝0，即 1 的对数等于 0.(3)设 a>0，a≠1，则有 a1＝a，∴logaa＝1，即底数的对数为 1.2．对数恒等式：alogaN＝N，该式叫做对数恒等式．3．在对数的运算中，常用对数的性质和对数恒等式进行对数的化简与求值．【典型例题 3】 求下列各式中 x 的值：(1)log3(log2x)＝0； (2)log2(lg x)＝1；(3)log－1＝x； (4)52－log53＝x.思路分析：利用 logaa＝1，loga1＝0，alogaN＝N(a>0，且 a≠1)及指数式与对数式的关系解题．解：(1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1，∴x＝21＝2.(2)∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝2，∴x＝102＝100.(3)∵log－1＝x，∴(－1)x＝＝＝＝－1，∴x＝1.(4)x＝52－log53＝＝.
