高中数学 第二章 概率 2.5 离散型随机变量的均值与方差学案（含解析）北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学学案VIP专享

§5 离散型随机变量的均值与方差知识点一 离散型随机变量的均值(数学期望) [填一填]设随机变量 X 的可能取值为 a1，a2，…，ar，取 ai的概率为 pi(i＝1,2，…，r)，即 X 的分布列为 P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)．X 的均值为：a1P ( X ＝ a 1) ＋ a 2P ( X ＝ a 2) ＋ … ＋ a rP ( X ＝ a r)＝a1p1＋ a 2p2＋ … ＋ a rpr，即随机变量 X 的取值 ai乘上取值为 ai的概率 P(X＝ai)再求和．X 的均值也称作 X 的数学期望(简称期望)，它是一个数，记为 EX，即 EX＝a1p1＋ a 2p2＋ … ＋ a rpr.均值 EX 刻画的是 X 取值的“中心位置”．两点分布的均值为 p，二项分布的均值为 p (1 － p ) ． [答一答]1．离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗？提示：不一定，如，EX＝0.5，在试验中不能出现，均值刻画的是 X 取值的“中心位置”．知识点二 离散型随机变量的方差 [填一填]一般地，设 X 是一个离散型随机变量，我们用 E ( X － EX ) 2 来衡量 X 与 EX 的平均偏离程度，E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并称之为随机变量 X 的方差，记为 DX.方差越小，则随机变量的取值就越集中在均值周围，反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散，两点分布的方差为 p (1 － p ) ，二项分布的方差为 npq.[答一答]2．随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示：随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越接近于总体方差．1．对离散型随机变量的均值与方差的理解(1)EX 是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，它描述 X 取值的“平均水平”．(2)EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr直接给出了 EX 的求法，即随机变量的取值与相应概率值分别相乘后再相加．(3)DX 与 EX 一样也是一个实数，它表示随机变量 X 相对 EX 的偏离程度，DX 越大表明偏离 EX 的程度越大，说明 X 的取值越分散；反之，DX 越小，X 的取值越集中在 EX 附近．2．均值与方差的性质(1)E(C)＝C(C 为常数)．(2)E(aX＋b)＝aEX＋b.(3)D(C)＝0(C 为常数)．(4)D(aX＋b)＝a2DX.3．几种特殊类型的随机变量的均值与方差(1)超几何分布：设 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，即 P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，l，l＝min{M，n})，则 EX＝，DX＝(此公式只需了解，不要求记忆)．(2)二项分布：设 X～B(n，p)，即P(X＝k)＝Cpk(1...