2.2.4 平面与平面平行的性质[目标] 1.理解并能证明两个平面平行的性质定理；2.能利用性质定理解决有关的平行问题．[重点] 平面与平面平行的性质定理及应用．[难点] 线线平行、线面平行、面面平行关系的转化．知识点 平面与平面平行的性质[填一填][答一答]1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．2．如果 α∥β，a⊂α，那么如何在平面 β 内作出与 a 平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面 β 内任取一点 A，然后作出 A 和直线 a 所确定的平面 γ，确定平面 β 和 γ 的交线 b，则 a∥b.3．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，下列几种说法中正确的是( B )①a∥b；② a 与 β 内无数条直线平行；③ a 与 β 内的任何一条直线都不垂直；④ a∥β.A．①② B．②④C．②③ D．①③④类型一 证明两条直线平行 [例 1] 如图，平面四边形 ABCD 的四个顶点 A、B、C、D 均在平行四边形 A′B′C′D′所确定的一个平面 α 外，且 AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形 ABCD 是平行四边形．[证明] 在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，因为 A′B′⊄平面 C′D′DC，C′D′⊂平面 C′D′DC，所以 A′B′∥平面 C′D′DC.同理 A′A∥平面 C′D′DC.又 A′A∩A′B′＝A′，所以平面 A′B′BA∥平面 C′D′DC.因为平面 ABCD∩平面 A′B′BA＝AB，平面 ABCD∩平面 C′D′DC＝CD，所以 AB∥CD.同理 AD∥BC.所以四边形 ABCD 是平行四边形．面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.[变式训练 1] 如右图，已知 α∥β，点 P 是平面 α，β 外的一点(不在 α 与 β 之间)．直线PB，PD 分别与 α，β 相交于点 A，B 和 C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知 PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求 PD 的长．解：(1)证明： PB∩PD＝P，∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ，则 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又 α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得 AC∥BD，∴＝.∴＝.∴CD＝.∴PD＝PC＋CD＝ cm.类型二 证明线面平行 [例 2] 如图所示，两条...
