高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)[基础·初探]教材整理 1 向量的数乘运算阅读教材 P87～P88例 5 以上内容，完成下列问题.1.定义：一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当 λ >0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0.3.运算律：设 λ，μ 为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.设 a 是非零向量，λ 是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a 与 λ2a 方向相同；④|－2λa|＝2|λ|·|a|.【解析】 由向量数乘的几何意义知③④正确.【答案】 ③④教材整理 2 共线向量与向量的线性运算阅读教材 P88例 5 以下至 P89例 7 以上内容，完成下列问题.1.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.如图 2218，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB＋AD＝λAO，则 λ＝________.图 2218【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB＋AD＝AC.又 O 是 AC 的中点，∴AC＝2AO，∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO，∴λ＝2.【答案】 2[小组合作型]数乘向量的定义及其几何意义 (1)若两个非零向量 a 与(2x－1)a 方向相同，则 x 的取值范围为________.(2)已知点 C 在线段 AB 的延长线上(在 B 点右侧)，且 AB∶AC＝2∶3.① 用BC表示AB；② 用CB表示AC.【精彩点拨】 对数乘运算的理解，关键是对系数 λ 的作用的认识：λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向，模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.【自主解答】 (1)由定义可知，2x－1>0，即 x>.【答案】 x>(2)如图 a，因为点 C 在线段 AB 的延长...