2．2.3 向量数乘运算及其几何意义[目标] 1.记住数乘的定义及其规定． 2.能够利用向量共线基本定理解决共线问题． 3.记住数乘运算法则并能进行相关运算．[重点] 数乘的定义．[难点] 向量共线基本定理．知识点一 向量数乘的定义 [填一填]一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝| λ || a | ；(2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；λ＝0时，λa＝0.[答一答]1．数乘向量与数乘数有什么区别？提示：数乘向量与数乘数的区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数．2．－2a 与 a 有什么关系？提示：－2a 与 a 方向相反，－2a 的长度是 a 长度的 2 倍．知识点二 向量数乘的运算律 [填一填]设 λ、μ 为实数，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．[答一答]3．向量数乘的运算律与实数乘法的运算律有什么不同？提示：向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa 和 λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．知识点三 向量共线基本定理 [填一填]向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b ＝ λ a .[答一答]4．定理中条件 a≠0 能漏掉吗？提示：定理中 a≠0 不能漏掉．若 a＝b＝0，实数 λ 仍然存在，但 λ 是任意实数，不唯一；若 a＝0，b≠0，则不存在实数 λ，使 b＝λa.5．设 e1，e2是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量 n＝e2－2e1共线，则 k＝.知识点四 线性运算 [填一填](1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．(2)任意向量 a，b，以及任意实数 λ，μ1，μ2恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a ± λμ 2b.[答一答]6．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中常用的一些变形手段能否在向量的线性运算中应用？提示：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用．7．若向量 x，a 满足 2x－3(x－2a)＝0，则向量 x＝6 a .类型一 向量数乘的运算 [例 1] 计算：(1)3(6a＋b)－9；(2)－2.[分析] 可综合运用向量数乘的运算律求解．[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9...
