高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义考试标准课标要点学考要求高考要求向量的数乘运算cc向量数乘运算的几何意义bb知识导图学法指导1.与实数乘法的运算律类似，向量数乘也有“结合律”、“分配律”．运用向量数乘的运算律时，要注重其几何意义．2．向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算，其中，向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础．3．向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以判断几何中三点共线和两直线平行，注意区别向量平行与直线平行．4．学习了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以用向量表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.1.向量数乘运算实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反．(3)当 λ＝0 时，λa＝0. 理解数乘向量应注意的问题(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如 λ＋a，λ－a均没有意义．2．数乘向量的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.3．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa. 向量共线定理的理解注意点及主要应用(1)定理中a≠ 0 不能漏掉. 若a＝b＝ 0 ，则实数 λ 可以是任意实数；若a＝0，b≠ 0 ，则不存在实数 λ，使得b＝λa.(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为 0 的一对实数 t，s，使 ta＋sb＝ 0 ，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且 ta＋sb＝ 0 ，则必有 t＝s＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数 λ 与向量 a，则 λ＋a 与 λ－a 的和是向量．( )(2)对于非零向量 a，向量－3a 与向量 a 方向相反．( )(3)对于非零向量 a，向量－6a 的模是向量 3a 的模的 2 倍．( )(4)若 b 与 a 共线，则存在实数 λ，使得 b＝λa.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．存在两个非零向量 a，b，满足 b＝－3a，则有( )A．a 与 b 方向相同 B．a 与 b 方向相反C．|a|＝|3b| D．|a|＝|b|解析：因为－3<0，所以 a 与－3a 方向相反．且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选 B....