高中数学 第二章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差导学案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学学案VIP专享

§5 离散型随机变量的均值与方差自主整理1.设随机变量 X 的可能取值为 a1,a2,…,ar,取 ai的概率为 pi(i=1,2,…,r),即 X 的分布为P(X=ai)=pi(i=1,2,…,r).则定义 X 的均值为_________________，即随机变量 X 的取值 ai乘上取值 ai的概率 P（ X=ai）再求和.X 的均值也称作 X 的数学期望(简称期望),它是一个数,记为_________________,即EX=_________________.均值 EX 刻画的是 X 取值的“_________________”，均值能够反映随机变量取值的“_________________”，这是随机变量 X 的一个重要特征.2.一般地,设 X 是一个离散型随机变量,我们用_________________来衡量 X 与 EX 的平均偏离程度,E(X-EX)2是_________________的期望,并称之为随机变量 X 的方差,记为_________________.方差越小,则随机变量的取值就越_________________在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越_________________.高手笔记1.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.2.EX 是一个实数,由 X 的分布列唯一确定.即作为随机变量 X 是可变的,可取不同值,而 EX 是不变的,它描述 X 取值的平均状态.3.EX=a1p1+a2p2+…+arpr直接给出了 EX 的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后再相加.4. E(aX+b)=aEX+b,∴随机变量 X 的线性函数 Y=aX+b 的期望等于随机变量 X 的期望的线性函数.此式可有如下几种特殊形式:当 b=0 时,E(aX)=aEX，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积.当 a=1 时,E(X+b)=EX+b,此式表明随机变量与常量和的期望,等于随机变量的期望与这个常量的和.当 a=0 时,E(b)=b,此式表明常量的期望等于这个常量.5.DX 表示随机变量 X 对 EX 的平均偏离程度,DX 越大表明平均偏离程度越大,说明 X 的取值越分散;反之 DX 越小,X 的取值越集中在 EX 附近.统计中常用DX来描述 X 的分散程度(DX称为标准差).6.DX 与 EX 一样也是一个实数,由 X 的分布列唯一确定.7.要注意:D(aX+b)=a2DX，而易错记为D(aX+b)=aDX+b;D(aX+d)=aDX.名师解惑1.期望和方差有哪些性质?剖析：(1)期望的性质:E(c)=c(c 为常数),E(aX+b)=aEX+b.(2)方差的性质:D(c)=0(c 为常数),D(aX+b)=a2DX.1(3)期望与方差的联系:DX=EX2-(EX)2.2.几个常用离散型随机变量的期望与方差的求解公式是什么？剖析：（1）两点分布：设 X 服从两点分布X10Ppq则 EX=p,DX=pq.（2）超几何分布：设 X 服从...