高中数学 第二章 概率 6 正态分布教学案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学教学案VIP专享

*§6 正态分布1．正态分布正态分布的分布密度函数为：f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中 μ 表示均值，σ2(σ>0)表示方差．通常用 X～N(μ，σ2)表示 X 服从参数为 μ 和 σ2的正态分布．2．正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线 x ＝ μ 对称．(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．(3)正态变量在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%.通常服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X 在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有 0.3%.1．正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此可把正态分布记作 N(μ，σ2)．2．要正确理解 μ，σ 的含义．若 X～N(μ，σ2)，则 EX＝μ，DX＝σ2，即 μ 为随机变量 X 取值的均值，σ2为其方差．正态曲线及性质[例 1] 设 X～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)．[思路点拨] 首先确定 μ＝1，σ＝2，然后根据三个特殊区间上的概率值求解．[精解详析] 因为 X～N(1,22)，所以 μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683.(2)因为 P(X≥5)＝P(X≤－3)，所以 P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]＝(1－0.954)＝0.023.[一点通] 对于正态分布 N(μ，σ2)，由 x＝μ 是正态曲线的对称轴知，(1)对任意的 a，有 P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．1．已知随机变量 X 服从正态分布 N(4，σ2)，则 P(X＞4)＝( )A. B.C. D.解析：由正态分布密度函数的性质可知，μ＝4 是该函数图像的对称轴，∴P(X＜4)＝P(X＞4)＝.答案：D2．如图所示，是一个正态分布密度曲线．试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．解：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线 x＝20 对称，最大值为，所以 μ＝20，＝，解得 σ＝.于是概率密度函数的解析式为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝()2＝2.正态分布在实际生活中的应用[例 2] (8 分)在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从一个正态分布，即 X～N(90,100)．(1)试求考试成绩 X 位于区间(70,110)内的概率是多少？(2)若这次考试共有 2 000 名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生...