高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2-2.3.3 互动课堂学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量共线的坐标表示互动课堂疏导引导1.正交分解 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.图 2-3-14 如图 2-3-14,光滑斜面上一个木块受到重力 G 的作用,产生两个效果,一是木块受平行于斜面的力 F1的作用,沿斜面下滑;一是木块产生垂直于斜面的压力 F2.也就是说,重力 G 的效果等价于 F1和 F2的合力的效果,即 G=F1+F2.G=F1+F2叫做把重力 G 分解.2.向量的坐标表示图 2-3-15如图 2-3-15,在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,对平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x、y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y).其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标.a=(x,y)叫做向量的坐标表示.3.向量的直角坐标的意义图 2-3-16如图 2-3-16,在直角坐标平面中,以原点 O 为起点作=a,则点 A 的位置由向量 a 唯一确定.设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点 A 的坐标;反过来,终点 A 的坐标(x,y)也就是向量的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.4.平面向量的坐标运算(1)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a+b=(a1+b1,a2+b2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a-b=(a1-b1,a2-b2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若 a=(a1,a2),λ∈R,则 λa=(λa1,λa2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.5.平面向量坐标运算的证明设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2,即 a+b=(a1+b1,a2+b2).用同样的方法可以证明:a-b=(a1-b1,a2-b2),λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2).疑难疏引 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).活学巧用1.若{e1,e2}为正交基底,设 a=(x2+x+1)e1-(x2-x+1)e2(其中 x∈R),则向量 a 位于( )A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三象限 D.第四象限解析：a=(x2+x+1,-x2+x-1),x2+x+1=x2+x++=(x+)2+≥＞ 0,-x2+x-1=-(x2-x)-1=-(x2-x+)- =-(x-)2...