高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2-2.3.3 知识巧解学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.如图 2-3-11，△ABC 中，D、E 分别是边、的中点.图 2-3-11求证：DEBC.证明：先选定一组基底，设=a，=b，则=b-a.又 ==a，==b，∴=-=ba= (b-a).∴=2，即△ABC 中，DEBC.学法一得 利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.二、正交分解下向量的坐标1.向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，任作一个向量 a.由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x，y)，使得 a=xi+yj.由于向量 a与有序实数对(x，y)是一一对应的，因此，我们就把(x，y)叫做向量 a 的(直角)坐标，记作 a=(x，y),其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量的坐标表示.显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).图 2-3-12设向量 a=(x，y)，a 方向相对于 x 轴正方向的旋转角为 θ.由三角函数的定义可知：x=|a|cosθ，y=|a|sinθ，即向量 a 的坐标由它的模和方向唯一确定，与它的位置无关.2.向量坐标的唯一性 在直角坐标平面内，以原点 O 为起点作=a，则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设=xi+yj，则向量的坐标(x，y)就是点 A 的坐标；反过来，点 A 的坐标(x，y)也就是向量的坐标.图 2-3-13 如图 2-3-13 所示，==a，向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，这就是我们常说的自由向量.向量在移动的过程中，其坐标是不变的，此时向量的坐标等于的坐标，即相等向量的坐标相同.3.一一对应原理 任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一的，也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系. 由此可见，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向...