高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案VIP专享

2．3～2.4 平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型[读教材·填要点]1．平均值不等式(1)定理 1(平均值不等式)：设 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥ ，等号成立⇔a1＝ a 2＝…＝ a n.① 推论 1：设 a1，a2，…，an为 n 个正数，且 a1a2…an＝1，则 a1＋a2＋…＋an≥n.且等号成立⇔a1＝ a 2＝…＝ a n＝ 1 .② 推论 2：设 C 为常数，且 a1，a2，…，an为 n 个正数；则当 a1＋a2＋…＋an＝nC 时，a1a2…an≤C n ，且等号成立⇔a1＝ a 2＝…＝ a n.(2)定理 2：设 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥，等号成立⇔a1＝ a 2＝…＝ a n.(3)定理 3：设 a1，a2，…，an为正数，则≥≥，等号成立⇔a1＝ a 2＝…＝ a n.推论：设 a1，a2，…，an为 n 个正数，则(a1＋a2＋…＋an)(＋＋…＋)≥n 2 .2．最值问题设 D 为 f(x)的定义域，如果存在 x0∈D，使得 f(x)≤f ( x 0)(f(x)≥f ( x 0))，x∈D，则称 f(x0)为 f(x)在 D 上的最大(小)值，x0 称为 f(x)在 D 上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思维]1．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.1利用基本不等式求最值[例 1] 已知 x＞0，y＞0，且＋＝1，求 x＋y 的最小值．[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．[精解详析] 法一： x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，又＋＝1，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号．故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．1．求函数 f(x)＝(x＞0)的最大值及此时 x 的值．解：f(x)＝1－.因为 x＞0，所以 2x＋≥2，得－≤－2，因此 f(x)≤1－2，当且仅当 2x＝，即 x2＝时，式子中的等号成立．由于 x＞0，因而 x＝时，等号成立．因此 f(x)max＝1－2，此时 x＝.利用平均值不等...