高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章复习导学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章复习课1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值.2.理解并掌握两个或三个正数的算术平均、几何平均数不等式并会应用它们求一些特定函数的最值.3.了解排序不等式及平均值不等式.知识结构知识梳理1.二维形式的柯西不等式(1)定理 1(二维)：设 a1，a2，b1，b2均为实数，则(a＋a)·(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.(2)(二维变式)：·≥|ac＋bd|.(3)定理 2(向量形式)：设 α，β 为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当 α 及β 为非零向量时，上式中等号成立⇔向量 α 与 β 共线(或平行)⇔存在实数 λ≠0，使得α＝λβ.(4)定理 3(三角不等式)：设 a1，a2，b1，b2为实数，则＋≥，等号成立⇔存在非负实数 μ 及 λ，使 μa1＝λb1，μa2＝λb2.(5)三角变式：设 a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则＋≥，等号成立⇔存在非负实数 λ 及 μ 使得 μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)且 μ(a2－b2)＝λ(b2－c2).1(6)三角向量式：设 α，β，γ 为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|.2.三维形式的柯西不等式：(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.3.柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，b3，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|，其中等号成立⇔＝＝…＝.4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.5.排序不等式：设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为 b1，b2，…，bn的任一排列，则有：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或 b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和.6.平均值不等式(1)定理 1：设 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(2)推论 1：设 a1，a2，…，an为 n 个正数，且 a1a2…an＝1，则 a1＋a2＋…＋an≥n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an＝1.(3)推论 2：设 C 为常数，且 a1，a2，…，an 为 n 个正数，当 a1＋a2＋…＋an＝nC 时，则a1a2…an≤Cn，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(4)定理 2：设 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.典例剖析知识点 1 利用柯西不等式证明不等式【例 1】 设 a，b，c，d 为正数，且不全相等，求...